Posibles condiciones en subconjuntos de espacio euclidiano para ser integrados subvariedades

Question

Considere la posibilidad de un conectadas localmente $X\subset \mathbb R^n$. Dado un punto de $p\in X$, considere la siguiente condición:

• Para cualquier $a,b\in X$, si hay un camino de $a\to p\to b$$X$, también hay un suave camino de $a\to p \to b$ $X$ con un valor distinto de cero derivado en $p$ (al menos una vez).

Creo que esta condición se puede expresar que el $X\subset\mathbb R^n$ es suave en $p$.

Cada punto de $p$ de espacio Euclidiano satisface esta propiedad, ya que e.g el círculo de ir a través de los puntos de $a,b,p$ proporciona un camino liso $a\to p\to b$. En consecuencia, creo que cada punto de un incrustado colector $X\subset\mathbb R^n$ cumple esta condición.

Pregunta. ¿Esta caracterizar colectores incrustado en el espacio Euclidiano? Es decir, si $X\subset \mathbb R^n$ es un local conectado subconjunto en el que cada punto satisface la condición anterior, hace que se siga $X$ es un integrado colector?

Añadido. Eric Wofsey la respuesta me ayudó a darme cuenta me gustaría asumir $X$ es, además, localmente Euclídeo. Su comentario proporciona un contraejemplo para este caso, a saber, la cuña en la $\mathbb R^3$ formadas por el plegamiento de un rectángulo a lo largo de una línea. Este comentario resume el problema con la condición de mi pregunta. He preguntado a una pregunta de seguimiento aquí.

Answer 1

No. Por ejemplo, supongamos $X\subset\mathbb{R}^2$ ser la unión de la $x$-eje y de la gráfica de la función $f(x)=\exp(-1/x^2)$. Esto satisface sus condiciones, pero no es suave en el origen.

De hecho, un conjunto puede ser muy lejos de ser un colector. Por ejemplo, el conjunto de $X=\mathbb{R}^2\setminus\mathbb{Q}^2$ satisface sus condiciones. Dados tres de sus puntos de $a,p,b\in X$, usted puede construir fácilmente una innumerable familia de vías lisas $a\to p \to b$ $\mathbb{R}^2$ que tienen distinto de cero derivado en $p$ y cuyas imágenes no se intersecan, excepto en $a$, $p$, y $b$. Sólo countably muchas de estas rutas pueden contener un punto de $\mathbb{Q}^2$, así que al menos uno de ellos es en $X$.