Define una superficie hiperbólica $H$ como un espacio métrico localmente isométrico al semiplano superior de Poincaré $ \mathbb {H}^2$ con la métrica apropiada. Obsérvese que el cociente $ \mathbb {H}^2/ \Gamma $ es una superficie hiperbólica, donde $ \Gamma $ es un grupo Fuschiano actuando apropiadamente de forma discontinua sin punto fijo en $ \mathbb {H}^2$ .
Cada superficie cerrada y conectada de Riemann $S$ de género mayor que $2$ admite la estructura de una superficie hiperbólica: es una consecuencia (bastante) directa de la uniformización. En efecto, la cobertura universal $ \tilde {S}$ es $ \mathbb {H}^2$ y $Aut( \mathbb {H}^2)=PSL(2, \mathbb {R})$ así que $S= \tilde {S}/ \Gamma $ donde $ \Gamma $ es Fuschiana, y concluimos con la observación anterior.
Tenemos el siguiente resultado:
Teorema : Deje que $H$ ser un cerrado, conectado, orientado superficie hiperbólica del género $ \geq 2$ . Luego $S$ es isométrico a $ \mathbb {H}^2/ \Gamma $ para algún Fuschiano $ \Gamma $ . En particular, tal superficie hiperbólica lleva la estructura de una superficie de Riemann.
En la prueba usamos el hecho de que $H$ está orientado a mostrar que los mapas de transición son holomórficos. Sin embargo, surge la siguiente pregunta: ¿cuáles son algunos ejemplos interesantes de superficies hiperbólicas no orientables ? ¿Cuánto trabajo se necesita para encontrar tal superficie? No puedo pensar en una todavía. Además, si cada superficie hiperbólica cerrada puede ser obtenida pegando pares de pantalones, ¿cómo podemos encontrar una? ¿Dónde se degenera la construcción?
Muchas gracias por la lectura.
