Supongamos que $f:\mathbb{R}\to {\mathbb R}^n$ es una función suave con valor de $f(t)$$t$. ¿Cuál es la diferencia entre $$\frac{df}{dt}$$ and $$\frac{\partial f}{\partial t}?$$ Cuando parciales y totales de diferenciación son bastantes?
Respuestas
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Una derivada parcial ($\frac{\partial f}{\partial t}$) de un multivariable función de varias variables es su derivada respecto a una de esas variables, con los demás se mantienen constantes.
Deje $f(t,x)=t^2 + tx + x^2$. A continuación, $$\frac{\partial f}{\partial t} = 2t + x + 0$$
Por otro lado, el total de derivados ($\frac{\mathrm df}{\mathrm d t}$) se toma con la suposición de que todas las variables se puede variar. Así
$$\frac{\mathrm df}{\mathrm d t} =\frac{\partial f}{\partial t}\frac {\mathrm d t}{\mathrm dt} + \frac{\partial f}{\partial x}\frac {\mathrm d x}{\mathrm dt}$$
Por lo tanto, si $f(t,x)=t^2 + tx + x^2$$\frac {\mathrm d x}{\mathrm dt}=t^3$, $$\frac{\mathrm df}{\mathrm d t} =(2t +x) + (2x+t)(t^3)$$
Por supuesto, si la función es una función de sólo una variable, entonces el total y los parciales son derivados de la misma.
Cfr
Puntos
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Diferenciación parcial se utiliza cuando el dominio de la función está definida en un conjunto producto cartesiano. Se supone que $f : E \times F \to F$$(x,y) \mapsto f(x,y)$, entonces usted tiene dos diferenciación parcial para separar el derivado en contra de la primera variable, es decir, $\frac{\partial f}{\partial x}$ frente a la segunda variable $\frac{\partial f}{\partial y}$. Si el dominio no es un producto cartesiano (como el de tu ejemplo), entonces el parcial y total de la diferenciación coinciden.
