Ampliando el Sueño de Sophomore para incluir una constante en el exponente.

Question

Estoy tratando de ampliar el Sueño del Sofista probando la fórmula:

$$\int _0^1\limits x^{a-x}\text d x=\sum _{n=1}^\infty \limits \frac{1}{(a+n)^n}$$

He intentado la inducción, la integración por partes, y utilizando la misma prueba que aquí y sustituyendo $a-x$ pero no he tenido mucha suerte.

Gracias de antemano.

Answer 1

$$ x^{a-x}=x^a e^{-x\ln x}=x^a\left(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^n\ln^n x}{n!}\right)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{n+a}\ln^n x}{n!}. $$ Integrar por partes $$ \int_0^1 (-1)^n\frac{x^{n+a}\ln^n x}{n!}\mathrm{d}x=(-1)^{n}\frac{x^{n+a+1}\ln^n x}{(n+a+1)n!}|_{x=0}^{x=1}+(-1)^{n-1}\int_0^1 \frac{x^{n+a}\ln^{n-1}x}{(n+a+1)(n-1)!}\mathrm{d}x $$ $$ =\cdots=\frac{1}{(n+a+1)^{n+1}}. $$ Por lo tanto, tenemos $$ \int _0^1\limits x^{a-x}\text d x=\sum _{n=1}^\infty \limits \frac{1}{(a+n)^n}. $$

Answer 2

$$\int _0^1\limits x^{a-x}\text d x=\int_0^1e^{(a-x)\ln(x)}dx=\int_0^1\sum_{n=0}^\infty\frac{((a-x)\ln(x))^n}{n!}dx=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}\int_0^1((a-x)\ln(x))^ndx$$ Dejemos que $u=-\ln(x)$ y $-e^udu=dx$

Así que $$\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}\int_0^1((a-x)\ln(x))^ndx=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}\int_0^\infty(e^{-u}-a)^nu^ne^udu$$

Recordemos que $n!=\int_0^\infty u^n e^{-u}du$

¿Puede continuar desde aquí?