Es importante tener en cuenta la topología en $[0,1]$ que es la topología del subespacio heredada de $\mathbb{R}$ . En concertación con el definición de la topología del subespacio , encontrará que $[0,a)$ es un conjunto abierto en $[0,1]$ para $0<a<1$ aunque tal conjunto no es abierto en $\mathbb{R}$ .
Como apunte, hay un teorema sobre la compacidad local para el que este escenario surge como un caso especial:
Teorema : Sea $X$ sea un espacio de Hausdorff localmente compacto. Si $U$ es un subconjunto abierto o cerrado de $X$ entonces $U$ es a su vez localmente compacta.
Prueba : Queremos demostrar que cualquier punto $x \in U$ tiene una vecindad compacta $L_x \subset U$ . Para ello, empezamos por observar que la compacidad local de $X$ garantiza que $x$ tiene una vecindad compacta $K \subset X$ . Esto servirá como punto de partida.
La intersección de un conjunto cerrado y un conjunto compacto es a su vez compacta por lo que nuestra estrategia a seguir será encontrar una colección (finita) de vecindarios cerrados $\{ C_i \}$ de $x$ tal que $\displaystyle K \cap \left( \bigcap_i C_i \right)$ es un subconjunto propio de $U$ (necesariamente compacto). Un buen paso en la dirección correcta es tomar $K \cap \overline{U}$ que elimina muchos puntos de $K \setminus U$ .
Para obtener un tercer conjunto cerrado $S$ para que $S \cap K \cap \overline{U} \subset U$ podemos hacer lo siguiente: obsérvese que $\partial U \cap K$ es compacto porque $\partial U$ está cerrado (donde $\partial U$ denota el límite de $U$ ), y puesto que $X$ es Hausdorff, podemos cubrir $\partial U\cap K$ con conjuntos abiertos que están "lejos" de $x$ . Sea $T$ sea la unión de los conjuntos abiertos contenidos en la subcubierta finita que esto admitirá necesariamente, y sea $S = X \setminus T$ (que es una vecindad cerrada de $x$ ).
$L_x = S \cap K \cap \overline{U}$ es una vecindad compacta de $x$ contenida en $U$ .
En este escenario, por supuesto, $X = \mathbb{R}$ (un espacio de Hausdorff localmente compacto), y $U = [0,1]$ .
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Debe distinguir entre un subconjunto de $\Bbb R$ y un subespacio de $\Bbb R.$
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Por esta razón, oficialmente, en los exámenes de matemáticas de los institutos de Noruega, una función en un dominio con puntos finales (digamos $f:[0,1]\to \Bbb R$ con $f(x) = x$ ) no se considera que tenga máximos y mínimos locales en esos puntos finales. Pueden ser global puntos extremos, si el valor de la función allí es mayor o menor que en cualquier otro lugar del dominio. Pero como " $f$ no se define en un barrio" (parafraseado), no pueden ser local máximos o mínimos. Así que no te preocupes, no eres el único que está confundido al respecto. (Además, me enfurece a más no poder que seamos enseñanza este concepto erróneo a los alumnos).