¿Existe una definición del "tamaño" de un número?

Question

Para aclarar mi pregunta, he aquí un ejemplo:

Sabemos que $1 < 2$ o $2 > 1$ (uno es menos de dos, o, dos es mayor que uno), pero ¿se basa sólo en nuestra intuición o comprensión natural del "tamaño"?

Para preguntarlo de otra manera, ¿qué hace media para que un número sea mayor/menor que otro? ¿Existe alguna forma o método para establecer esto, o es, como se mencionó anteriormente, sólo sentido común (basado en la definición de un número)?

Puede que sea una tontería plantear esta pregunta, pero no está de más aclararla.

Answer 1

Probablemente haya más de una manera de definir esto.

Aquí hay una (al menos para los enteros): tomando el número $1$ y sumándolo a sí mismo (o encontrando sucesores) varias veces, podemos obtener los números naturales. Para obtener los números enteros, también tenemos que tomar los inversos aditivos. Esto distingue entre positivo y negativo enteros: los positivos son los que obtuvimos como números naturales, los negativos son los que necesitamos tomar inversos para obtener.

Ahora, podemos utilizar este concepto, más el de sustracción, para definir una relación de tamaño. Digamos que $m > n$ si $m-n$ es positivo y $m < n$ si $m-n$ es negativo .

Para los números reales, vale la misma definición, suponiendo que hemos distinguido de alguna manera los números reales positivos de los negativos. Hasta donde yo sé, las construcciones habituales de los números reales permiten tal distinción.

Answer 2

¿Existe una forma o método para establecer esto, o es, como se mencionó anteriormente, sólo sentido común (basado en la definición de un número)?

Desde el punto de vista de las matemáticas, existe un método muy formal y preciso para establecerlo. En primer lugar hay que saber qué Teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel es (y de hecho los axiomas de ZF son algo arbitrarios pero juegan bien con nuestra intuición) y entonces puedes definir con precisión los números naturales:

$$0:=\emptyset$$ $$1:=\{\emptyset\}$$ $$2:=\{\emptyset, \{\emptyset\}\}$$ $$\vdots$$ $$n+1:=n\cup\{n\}$$

Ahora hay una ordenación natural de los conjuntos: $X< Y$ si y sólo si existe y la inyección $X\to Y$ pero no hay inyección $Y\to X$ . Esta ordenación restringida a los naturales es a la que se refiere. Capta la esencia del "tamaño".

Por ejemplo, si $X=\{1\}$ y $Y=\{1,2\}$ entonces existe una inyección $X\to Y$ , $1\mapsto 1$ . Puede comprobar fácilmente que la única función $Y\to X$ es la constante que no es inyectiva. Por lo tanto, $X<Y$ .

Answer 3

El significado del tamaño (y del símbolo mayor/menor que) depende del tipo de número y de lo que se haga con él. De hecho, en cierto modo, se trata de un fundamento de lo que consideramos que son los números.

Cuando utilizamos números para contar cuántos elementos hay en una colección (por ejemplo, cuántas ovejas hay en un campo o cuántos caracteres hay en un tuit) esto se llama "Cardinalidad". Los números que utilizamos para la cardinalidad finita son los números naturales o de conteo $0, 1, 2 ... $ .

Si pensamos en términos de cardinalidad, la definición matemática de menor es "A es menor o igual que B si cada elemento de A puede emparejarse con un elemento de B sin volver a utilizar ningún elemento de B". Por ejemplo, si tienes dos aulas llenas de estudiantes y le dices a todos los estudiantes de la primera aula que se den la mano con alguien de la segunda aula, esto sólo puede ocurrir si la primera aula tiene una cantidad igual o menor de estudiantes.

Sin embargo, esta no es la única forma de utilizar los números, también utilizamos $\lt$ Y $\gt$ para expresar la idea de "antes" y "después". Cuando hablamos de números en el sentido de orden, hablamos de ordinales. Para los números naturales esto es lo mismo, pero para otros sistemas de números no lo es.

Para los números enteros (los números naturales y los números negativos), los números racionales (los enteros y las fracciones) y los números reales (los números racionales y todos los números que están entre los números racionales) mayor que y menor que se define en términos de "En qué orden están estos dos números en la recta numérica".

Answer 4

En los naturales, un número es mayor que otro si viene después en la enumeración (dicho de otra manera, si es un sucesor).

Para los reales, se puede "ampliar" (multiplicar por un factor) hasta que difieran al menos en una unidad, y se aplica la regla anterior.

Así que el concepto está más relacionado con la ordenación lógica de los números que con su "tamaño". Esto explica por qué no se pueden comparar los números complejos (no hay una única forma de ordenarlos, aunque sí se pueden ordenar por tamaño, es decir, por módulo).