Evaluación de $\int_0^{\pi} \frac{1}{(2-\cos(x))^2}$

Question

Dado que $$ \int_{0}^{\pi}\frac{dx}{a-\cos(x)}=\frac{\pi}{\sqrt{a^2-1}},\,a>1 $$

¿Cómo puedo resolver $$ \int_{0}^{\pi}\frac{dx}{(2-\cos(x))^2} $$

Traté de usar fracciones parciales, pero no podía hacer que funcione, im pensando que debe terminar con alguna variación de $ \int_{0}^{\pi}\frac{dx}{a-\cos(x)}$ de lo contrario el consejo sería inútil.

Answer 1

Sugerencia : Que $$f(a) =\int_{0}^\frac{dx}{a-cosx}$$

Ahora trata de tomar la derivada de esta integral con respecto a. $a$ .

$$f'(a)=-\int_{0}^\frac{dx}{(a-cosx)^2}=\frac{-a\pi}{(a^2-1)^{3/2}}$$

¿Tienes alguna idea para proceder?

Answer 2

Tenga en cuenta que $$\frac{d} {dx} \frac {\sin x} {a-\cos x} =\frac{a\cos x-1} {(a-\cos x) ^2} $$ y por lo tanto $$\int\frac{dx} {(a-\cos x) ^2}=-\frac{\sin x} {a-\cos x}-a\int\frac{dx} {a-\cos x} +a^2\int\frac{dx}{(a-\cos x) ^2}$$ ou $$(a^2-1)\int\frac{dx}{(a-\cos x) ^2}=\frac{\sin x} {a-\cos x} +a\int\frac{dx} {a-\cos x} $$ y utilizando los límites $0,\pi$ obtenemos $$\int_{0}^{\pi}\frac{dx}{(a-\cos x) ^2}=\frac{\pi a} {(a^2-1)^{3/2}} $$

Answer 3

sólo una pista

Ponga $$x=2\arctan (t) .$$

entonces

$$2-\cos (x)=\frac {1+3t^2}{1+t^2} $$

y $$dx=\frac {2dt}{1+t^2}. $$ La integral pasa a ser

$$2\int_0^{+\infty}\frac {1+t^2}{(1+3t^2)^2}dt $$

ahora, usa fracciones parciales.

Answer 4

Sólo una pista :

$Tan x/2 = t $ límite de 0 a $infinity$

$0.5*(Sec x/2)^2 dx = dt$

Ahora convertir $$cosx = (1- (tan x/2)^2)/(1+ (tan x/2)^2)$$