Este teorema fue demostrado por Max Dehn a principios del siglo 20.
Supongamos que hay algunos cuadrado cuyo lado $s$ no es racional. Recoger algunas $\mathbb{Q}$-homomorphism $h$ tal que $h(1) = 0$$h(s) = 1$. Definir el área de $\sigma(R)$ de un rectángulo $R$ con lados de $a,b$$h(a)h(b)$. Mostramos a continuación que si un rectángulo $R$ se divide en rectángulos $R_i$ $$\sigma(R) = \sum \sigma(R_i).$$ Take $R$ to be the unit square, and $R_i$ the squares into which it is partitioned. If $R_i$ has side $s_i$ then we get $$0 = h(1)^2 = \sigma(R) = \sum \sigma(R_i) = \sum h(s_i)^2 \geq h(s)^2 = 1.$$ Esta contradicción muestra que todas las partes deben ser racional.
Queda por demostrar que $\sigma$ es aditivo. Extender a todos los lados en la partición de $R$ para obtener una cuadrícula $G_j$. A partir de la suma de $h$ podemos conseguir fácilmente a $$\sigma(R) = \sum\sigma(G_j) = \sum\sigma(R_i).$$
El uso de métodos similares, usted puede mostrar los siguientes ligeramente más fuerte teorema: Supongamos que un rectángulo se divide en cuadrados. A continuación, todos borde longitudes son racionalmente relacionados.
De hecho, si fuera rectángulo había lados $a,b$ no racionalmente, dependiente de la entonces podríamos elegir un homomorphism $h$ tal que $h(a)=1,h(b)=-1$, y luego que $-1$ es una suma de cuadrados. Wlog, $a,b$ son racionales, y la prueba anterior completa el argumento.
