Encuentra el contraejemplo más sencillo contra el intercambio de límite y suma

Question

Necesitaría un contraejemplo muy sencillo para demostrar que $$ \lim_{M\to\infty}\sum_{t=1}^M f(t,M) $$ puede no ser necesariamente igual a $$ \sum_{t=1}^\infty \lim_{M\to\infty}f(t,M)\ . $$ La situación en este caso es (ligeramente) diferente a la pregunta común sobre el intercambio de límites y la suma infinita, ya que $M$ está conduciendo por sí mismo el límite superior de la suma. ¿Puede exhibir una función simple $f$ que hace el trabajo? [Tenga en cuenta que debería depender explícitamente en $M$ !]. Sólo se me ocurrió una situación demasiado complicada, pero creo que se me escapa algo potencialmente muy sencillo... Muchas gracias por su ayuda.

Answer 1

Utilizando Soportes Iverson , $$ f(k,M)=[k=M] $$ $$ %f(k,M)=\left\{\begin{array}{} %0&\text{if }k\ne M\\ %1&\text{if }k=M %\end{array}\right. $$

Answer 2

Dejemos que $f(t,M) =\frac{t}{M}$ entonces

$\lim_{M\rightarrow \infty} \sum_{t=1}^{M} \frac{t}{M} = \infty$

ya que es sólo la serie aritmética sobre M,

$\lim_{M \rightarrow \infty} \frac{M(M+1)}{2M} = \lim_{M\rightarrow \infty} \frac{M+1}{2}$

mientras que

$\sum^\infty_{t=1} \lim_{M\rightarrow \infty} \frac{t}{M} = 0 $ ,

ya que todo sumando es cero para todo finito $t$ .

Answer 3

Un ejemplo que se me ocurre es: $f(t,M)=\frac1M g(\frac tM)$ donde $g$ es continua en $[0,1]$ para que $$\lim_{M\rightarrow \infty}\sum_{t=0}^{M}f(t,M)=\int_0^1 g(x)\,\mathrm{d}x$$ pero $\sum_{t=0}^{\infty}\lim_{M\rightarrow \infty}f(t,M)=0$ si $g(0)\neq 0.$
Por ejemplo, puede elegir $g(x)=x+1\text{ and }f(t,M)=\frac1M (1+\frac tM).$
EDIT: Por supuesto que es una serie de Riemann, pensé en mencionarlo.

Answer 4

Similar a la respuesta de @cgrudz pero un poco más simple. $$f(t,M)=1/M$$ Entonces $\lim_{M\to\infty}\sum_{t=1}^M1/M=1$ mientras que $\sum_{t=1}^\infty\lim_{M\to\infty}1/M=0$ .