Mostrar que $\sum_{k=1}^\infty a_k<\infty \implies \sum_{k=1}^\infty a_k^3<\infty $

Question

Deje $(a_k)$ una secuencia de número real. ¿Cómo puedo demostrar que $$\sum_{k=1}^\infty a_k<\infty \implies \sum_{k=1}^\infty a_k^3<\infty.$$

Si $(a_k)$ tiene signo constante, es obvio. Pero desgraciadamente no se supone, por lo comparaison criterio no funciona.

Entonces traté de contradicción : si no convergen, entonces hay subsequence $(n_k)$ $(m_k)$ s.t. $(S_{n_k})$ $(S_{m_k})$ no tiene el mismo límite (donde $S_n=\sum_{k=0}^n a_k^3$. Pero yo no puedo concluir de esa manera.

Alguna idea ?

Answer 1

Para una secuencia $(a_n)$ de los números reales, no es cierto que la convergencia de $\sum a_n$ implica la convergencia de $\sum a_n^3$. Por supuesto, esto es si el $a_n$ son no negativos, por una simple comparación argumento: Para $m$ grande (dicen, $m>N$), $a_m<1$ ya que, de hecho, la convergencia de $\sum a_n$ implica que el $a_n\to 0$. Pero, a continuación, $0\le a_m^3\le a_m$ $\sum_{m>N}a_m^3\le \sum_{m>N}a_m$ y el resultado de la siguiente manera.

Del mismo modo, si $\sum a_n^k$ converge para algún número $k$, $\sum a_n^l$ converge, así como para cualquier $l>k$, ya que en realidad $\sum |a_n|^l$ converge el argumento de que el párrafo anterior.

Así, el problema en el problema en cuestión es que estamos tratando con un extraño poder. En 1944, George Pólya publicado la siguiente pregunta para la American Mathematical Monthly:

Deje $C$ ser arbitrariamente determinada clase de enteros positivos ($C$ podría ser infinito). Mostrar que hay una secuencia $(a_n)$ de los números reales, tal que para cualquier entero positivo $l$, $\sum a_n^{2l-1}$ converge si y sólo si $l\in C$.

En particular, hay secuencias que $\sum a_n$ converge y $\sum a_n^3$ diverge. Para el general de la solución a su problema, me refiero a N. J. Fine solución en el Vol. 53, Nº 5, (Mayo 1946), pp 283-284 de la Mensual.

Aquí, permítanme darles un ejemplo. Considere la secuencia $a_1,a_2,a_3,\dots=$ $$1^{-1/3}, -\frac12\cdot 1^{-1/3},-\frac12\cdot 1^{-1/3},2^{-1/3},-\frac12\cdot 2^{-1/3},-\frac12\cdot 2^{-1/3},\dots,n^{-1/3},-\frac12\cdot n^{-1/3},-\frac12\cdot n^{-1/3},\dots$$ Debería ser evidente que $\sum a_n$ converge (a 0) y que $\sum a_n^3$ diverge (ya que la serie armónica diverge). De hecho, es posible que desee comprobar que $\sum a_n^{2k-1}$ converge para todos los $k\ne 2$. Multa solución del problema de Pólya se procede a encontrar una secuencia que se comporta de esa manera para cualquier entero positivo impar $m$: Una secuencia tal que $\sum a_n^{2k-1}$ converge si y sólo si $2k-1\ne m$. Una vez que tenemos estos bloques de construcción, no es difícil ver cómo combinarlos para garantizar la convergencia o divergencia en cualquier número impar como se desee.

Answer 2

Contra-ejemplo: Usted puede concatenar los bultos de los términos de la siguiente forma:

Para $k\geq 1$ denotar $m_k=\lfloor k^{1/6}\rfloor$ y definir $N_1=1$, $N_{k+1}= N_k + m_k+1$. Para $0\leq j< m_k$ $$ x_{N_k+j} = -\frac {1}{k^{1/3}} , \; 0\leq j< m_k, \;\;\; x_{N_k+m_k} = \frac{m_k}{k^{1/3}} \sim k^{-1/2}$$ Entonces la suma $$ \sum_{j=0}^{m_k} x_{N_k+j} = 0 $$ Pero $$ \sum_{j=0}^{m_k} x^3_{N_k+j} \sim \frac{1}{k^{5/6}} $$ Suma más de $k$ el último tiende a infinito. De ello se sigue que $\sum_{n\geq 1} x_n$ converge (condicional) mientras que $\sum_n x_n^3$ no.