$n$th derivado de la $\sin(f(x))$

Question

Este problema se acercó en algunos de matemáticas que estoy trabajando por mi cuenta, no de un libro de texto, por lo que no hay ninguna solución.

$$g(x) = \sin(f(x))$$

Para cualquier función polinómica $f(x)$,

$$g'(x)=\cos(f(x))f'(x)$$

$$g''(x)=-\sin(f(x))f'(x)^2+f''(x)\cos(f(x))$$

$$g'''(x)=-\cos(f(x))f'(x)^3-3\sin(f(x))f'(x)f''(x)+\cos(f(x))f'''(x) \\ \vdots$$

Como se puede ver, cada uno es mucho más complejo que el anterior, y lleva mucho más tiempo para evaluar que el anterior.

Hay patrón para encontrar $g^{(n)}(x)$ sin apenas fuerza bruta con la regla de la cadena?

EDIT: Para hacer la pregunta más específica, para mi caso, $f(x)$ es una función polinómica, y sólo tengo que encontrar a$g^{(n)}(x)$$x=0$.

Gracias!

Answer 1

Desea Faà di Bruno de la fórmula.

Answer 2

Micah se ha hecho ya referencia a Faà di Bruno de la fórmula. Tu comentario sugiere una dificultad para la comprensión de los coeficientes. Una manera de ver esto es la siguiente. Digamos que usted desea $$ \frac{d^4}{dx^4} \cos(f(x)). $$ Primero resolver el problema como si se fueron diferenciando con respecto a una variable diferente cada vez; a continuación, dejar que las variables se unen en una variable y recoger todos los términos semejantes. Con el fin de hacer que, en primer lugar, entender que no se $15$ formas de partición de un conjunto de cuatro cosas: $$ \begin{array}{c|l} 4321 & \text{1 part} \\ \hline 432/1 & \text{2 parts,} \qquad 3+1 \\ 431/2 \\ 421/3 \\ 321/4 \\ \hline 43/21 & \text{2 parts,} \qquad 2+2 \\ 42/31 \\ 41/32 \\ \hline 43/2/1 & \text{3 parts,} \qquad 2+1+1 \\ 42/3/1 \\ 41/3/2 \\ 32/1/4 \\ 31/2/4 \\ 21/4/3 \\ \hline 4/3/2/1 & \text{4 parts} \end{array} $$ Ahora aplicamos que: \begin{align} & \frac{\partial^4}{\partial x_4\,\partial x_3\,\partial x_2\,\partial x_1} \cos(f) \\[15pt] = {} & \cos'(f) \frac{\partial^4 f}{\partial x_4\,\partial x_3\,\partial x_2\,\partial x_1} & & {[}4{]} \\[15pt] & {} + \cos''(f) \left( \frac{\partial^3 f}{\partial x_4\,\partial x_3\,\partial x_2} \cdot \frac{\partial f}{\partial x_1} + \frac{\partial^3 f}{\partial x_4\,\partial x_3\,\partial x_1}\cdot \frac{\partial f}{\partial x_2} \right. & & {[}3+1{]} \\[5pt] & \phantom{mmmmmm} {} + \frac{\partial^3 f}{\partial x_4\,\partial x_2\,\partial x_1} \cdot \frac{\partial f}{\partial x_3} + \frac{\partial^3 f}{\partial x_3\,\partial x_2\,\partial x_1} \cdot \frac{\partial f}{\partial x_4} & & {[}3+1{]} \\[5pt] & \phantom{mmmmmm} {} + \frac{\partial^2 f}{\partial x_4\,\partial x_3} \cdot \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_1} + \frac{\partial^2 f}{\partial x_4\,\partial x_2} \cdot \frac{\partial^2 f}{\partial x_3\,\partial x_1} & & {[}2+2{]} \\[5pt] & \phantom{mmmmmm} \left. {} + \frac{\partial^2 f}{\partial x_4\,\partial x_1} \cdot \frac{\partial^2 f}{\partial x_3\,\partial x_2} \right) & & {[}2+2{]} \\[15pt] & {} + \cos'''(f) \left( \frac{\partial^2 f}{\partial x_4\,\partial x_3} \cdot \frac{\partial f}{\partial x_2} \cdot \frac{\partial f}{\partial x_1} + \frac{\partial^2 f}{\partial x_4\,\partial x_2} \cdot \frac{\partial f}{\partial x_3} \cdot \frac{\partial f}{\partial x_1} \right. & & {[}2+1+1{]} \\[5pt] & \phantom{mmmmmm} {} + \frac{\partial^2 f}{\partial x_4\,\partial x_1} \cdot \frac{\partial f}{\partial x_3} \cdot \frac{\partial f}{\partial x_2} + \frac{\partial^2 f}{\partial x_3\,\partial x_2} \cdot \frac{\partial f}{\partial x_4} \cdot \frac{\partial f}{\partial x_1} & & {[}2+1+1{]} \\[5pt] & \phantom{mmmmmm} \left. {} + \frac{\partial^2 f}{\partial x_3\,\partial x_1} \cdot \frac{\partial f}{\partial x_4} \cdot \frac{\partial f}{\partial x_2} + \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_1} \cdot \frac{\partial f}{\partial x_4} \cdot \frac{\partial f}{\partial x_3} \right) & & {[}2+1+1{]} \\[15pt] & {} + \cos''''(f) \left( \frac{\partial f}{\partial x_4} \cdot \frac{\partial f}{\partial x_3} \cdot \frac{\partial f}{\partial x_2} \cdot \frac{\partial f}{\partial x_1} \right) & & {[}1+1+1+1{]} \end{align} Por último, nos vamos a las cuatro variables $x_4,x_3,x_2,x_1$ se vuelven indistinguibles y recoger los términos semejantes: \begin{align} \frac{d^4}{dx^4} \cos(f) = {} & \cos'(f) \cdot \frac{d^4 f}{dx^4} + \cos''(f)\left( 4\cdot\frac{d^3 f}{dx^3}\cdot\frac{df}{dx} + 3\cdot\left(\frac{d^2 f}{dx^2} \right)^2 \right) \\[10pt] & {} + \cos'''(f) \left( 6 \cdot \frac{d^2 f}{dx^2} \cdot \left( \frac{df}{dx} \right)^2 \right) + \cos''''(f) \left( \frac{df}{dx} \right)^4. \end{align} Que es donde los coeficientes $\underbrace{1,\,4,\,3,\,6,\,1}$ provienen.

Answer 3

Si usted no necesita la expresión simbólica, pero sólo los coeficientes de Taylor en $x=0$, puede utilizar Taylor aritmética basada en las ecuaciones diferenciales del seno y del coseno (ver automático de diferenciación, autodiff.org para el software). Con $g(x)=\cos(f(x))$ $h(x)=\sin(f(x))$ consigue $$ g'(x)=-h(x)·f'(x)\\ h'(x)=g(x)·f'(x) $$ que permite coeficiente de cómputo de la serie de multiplicación de reglas. Vamos $f(x)=\sum a_jx^j$, $g(x)=\sum b_jx^j$ y $h(x)=\sum c_jx^j$, entonces en poder de $x^{n-1}$ encontrar $$ nb_n=-\sum_{j=0}^{n-1}c_j·(n-j)a_{n-j}\\ nc_n=\sum_{j=0}^{n-1}b_j·(n-j)a_{n-j} $$ que permite que el coeficiente de la evaluación en un doble bucle.