Seguimiento de Producto de Potencias de $A$ $A^\ast$

Question

Deje $n$ ser impar, $\displaystyle v=1,...,\frac{n-1}{2}$$\displaystyle \zeta=e^{2\pi i/n}$.

Definir las siguientes matrices:

$$A(0,v)=\left(\begin{array}{cc}1+\zeta^{-v} & \zeta^v+\zeta^{2v}\\ \zeta^{-v}+\zeta^{-2v}&1+\zeta^{v}\end{array}\right),$$ $$A(1,v)=\left(\begin{array}{cc}\zeta^{-1}+\zeta^{-v} & \zeta^{v}\\ \zeta^{-v}&\zeta^{-1}+\zeta^{v}\end{array}\right).$$ $$A(n-1,v)=\left(\begin{array}{cc}\zeta+\zeta^{-v} & \zeta^{2v}\\ \zeta^{-2v}&\zeta+\zeta^v\end{array}\right).$$

Yo estoy esperando a calcular para cada uno de estos $A$ $$\text{Tr}\left[\left(A^k\right)^*A^k\right]=\text{Tr}\left[\left(A^*\right)^kA^k\right].$$

Todos los que tengo es que $A$$A^*$, en general, no conmutan entonces no puedo simultáneamente diagonalise ellos necesariamente.

Yo sé que si escribimos $A=D+(A-D)$ ($D$ diagonal), que $$A^*=\overline{D}+(A-D).$$

Supongo que cualquiera que sepa algo sobre el cálculo de $$\text{Tr}(A^kB^k)$$ puede ayudar.

Contexto: necesito calcular o más bien atado estas huellas para calcular una distancia aleatoria para la convolución poderes de una $\nu\in M_p(\mathbb{G}_n)$ $\mathbb{G}_n$ una serie de cuántica grupos de dimensión $2n^2$ ($n$ impar). Para $u=2,...,k-2$, $A(u,v)$ es diagonal, así que no hay problemas allí.

Answer 1

El primer caso es fácil. Deje $A:=A(0,v)$ y escribir $$A= \left(1+\zeta^v\right)\left(\begin{array}{cc}\zeta^{-v} & \zeta^v \\ \zeta^{-2v} & 1\end{array}\right)=\left(1+\zeta^v\right) \alpha^T\otimes \beta ,$$ donde $\alpha=\left(1\;\;\zeta^{-v}\right)$, $\beta=\left(\zeta^{-v}\;\; \zeta^v\right)$. Esto implica que $$A^*=\left(1+\zeta^{-v}\right)\bar{\beta}^T\otimes\bar{\alpha}.$$ Que ambas matrices tienen rango $1$ reduce el cálculo de las trazas de productos escalares de $\alpha,\bar{\alpha},\beta,\bar{\beta}$. Uno tiene por ejemplo \begin{align} \operatorname{Tr}\left(\left(A^*\right)^kA^k\right)&= \left(1+\zeta^v\right)^k\left(1+\zeta^{-v}\right)^k \left(\bar\alpha \cdot \bar{\beta}^T\right)^{k-1}\left(\bar{\alpha}\cdot \alpha^T\right)\left(\beta\cdot \alpha^T\right)^{k-1}\left(\beta\cdot\bar{\beta}^T\right)=\\ &=4\left(1+\zeta^v\right)^{2k-1}\left(1+\zeta^{-v}\right)^{2k-1}. \end{align}

En los otros dos casos, creo que no es un método inteligente, pero un enfoque directo que iba a funcionar tan bien. Diagonalize $A,A^*$ $$A=PDP^{-1},\qquad A^*=P^{-*}\bar{D}P^*,$$ entonces $$\operatorname{Tr}\left(\left(A^*\right)^kA^k\right)= \operatorname{Tr}\left(EP^kP^{-1}P^{-*}\bar{D}^kP^*\right),$$ con $D$, $\bar{D}$ diagonal. Por lo tanto, sólo hay que calcular diagonalizing transformación de $P$ construido a partir de los vectores propios de a $A$ y, a continuación, para calcular la traza del producto de seis matrices.