Imagina la siguiente matriz:
$$\begin{array}[cccccccccc] .1 && 2 && 3 && 4 && \ldots && n-2 && n-1 && n \\ 2n && 2n-1 && 2n-2 && 2n-3 && \ldots && n+3 && n+2 && n+1\end{array}$$
Observe que cada columna de sumas de dinero a $2n+1$ y todos los números de $1$ $2n$se utilizan en la matriz. Hay $n$ columnas. Lo que quiero demostrar es que si se va a resaltar $n+1$ números en esta matriz (es decir, los elementos de $T$), no sería toda una columna de relieve, y que la pareja suma a $2n+1$.
El pidgeonhole principio esencialmente dice que no es posible que resalte $n+1$ números de tal manera que no hay dos que se encuentran en la misma columna, si hay sino $n$ columnas. Si desea ver esta, luego tomar una pequeña matriz, como por $n=3$:
$$\begin{array}.1 && 2 && 3\\6 && 5 && 4\end{array}$$
Ahora, vamos a empezar a marcar algunos números, tratando de evitar que puso a los dos en una columna. Nuestro objetivo es poner de relieve $4$ los números, ya que es el tamaño del conjunto $T$. Podríamos empezar por poner $1$$T$:
$$\begin{array}.\color{red}1 && 2 && 3\\6 && 5 && 4\end{array}$$
pero ahora sabemos que no podemos poner a $6$ $T$ demasiado, ya que se suma a $2n+1$. Así, podríamos optar $5$ como nuestro próximo número, que prohíbe $2$ y podemos elegir $4$ como el número después de que:
$$\begin{array}.\color{red}1 && 2 && 3\\6 && \color{red}5 && \color{red}4\end{array}$$
Así que ahora tenemos un destacado número en cada columna y agregar número para el conjunto de $T$ crearía un par de sumar a $7$. Pero esto significa que no podemos tener un cuarto elemento en $T$, al menos, de cómo empezamos y la pidgeonhole principio garantiza que podemos nunca elegir un conjunto de tamaño $4$ sin poner los dos elementos en una columna.
El punto clave aquí es que debemos imaginar que, como estamos creando $T$, no estamos eligiendo números para poner en ella, estamos eligiendo que la columna para tomar los números. Hay $n$ columnas, y necesitamos hacer a $n+1$ opciones y de ahí que, en algún momento, elija la misma columna dos veces, y en este contexto, significa que necesitamos tener tanto elementos de algunos de columna en $T$, y de esta forma un par de sumar a $2n+1$.
