La convergencia de $\sum_{n=1} ^\infty \frac {1}{n(1+\frac {1} {2}+\frac {1} {3}+ \cdots+\frac {1} {n} )}$

Question

La convergencia de $$\sum_{n=1} ^\infty \dfrac {1}{n(1+\frac {1} {2}+\frac {1} {3}+ \cdots+\frac {1} {n} )}$$

Intento: creo que no es un buen intento: $n(1+\frac {1} {2}+\frac {1} {3}+ \cdots+\frac {1} {n} ) \leq n( 1+1+\cdots+1 )$

$\implies n(1+\frac {1} {2}+\frac {1} {3}+ \cdots+\frac {1} {n} ) \leq n^2$

$\implies \dfrac {1}{ n(1+\frac {1} {2}+\frac {1} {3}+ \cdots+\frac {1} {n} ) } \geq \dfrac {1}{n^2}$

Supongo que este resultado no es muy útil. Puede alguien por favor decirme una dirección para avanzar en este problema?

Muchas gracias por su ayuda .

Answer 1

Sugerencia. Recordemos que, como $n \to +\infty$, tenemos $$1+\frac {1} {2}+\frac {1} {3}+ \cdots+\frac {1} {n}\sim \ln n$$ entonces $$n\left(1+\frac {1} {2}+\frac {1} {3}+ \cdots+\frac {1} {n}\right)\sim n\ln n$$ y $$ \sum \frac{1}{n\left(1+\frac {1} {2}+\frac {1} {3}+ \cdots+\frac {1} {n}\right)} \sim \sum \frac{1}{n \ln n}, $de$ su serie inicial es entonces divergentes como es el último de la serie.

Answer 2

La otra forma de verlo es, denotando $\displaystyle H_n = \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$

La cola de la serie: $$\displaystyle \frac{\frac{1}{n+1}}{H_{n+1}}+\frac{\frac{1}{n+2}}{H_{n+2}}+\cdots +\frac{\frac{1}{n+r}}{H_{n+r}} \ge \frac{\sum\limits_{k=1}^{r}\frac{1}{n+k}}{H_{n+r}} = \frac{H_{n+r}-H_{n}}{H_{n+r}} = 1-\frac{H_n}{H_{n+r}}$$

Ya, $\displaystyle \lim\limits_{r \to \infty} 1-\frac{H_n}{H_{n+r}} = 1$

La serie diverge por Cauchy Criterios.

Answer 3

El uso de $GM\ge HM$ $$\left( 1\cdot\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}\cdots \frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{n}}\ge \frac{n}{\frac{1}{1+\frac{1}{2}+ \frac{1}{3}+\cdots \frac{1}{n}}}$$ so that $$\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{1+\frac{1}{2}+ \frac{1}{3}+\cdots \frac{1}{n}}\ge (n!)^{\frac{1}{n}}$$ and as $(n!)^{\frac{1}{n}}>1 \forall n\ge2$ we see that $\sum (n!)^{1/n}$ cannot converge and thus $$\sum \frac{1}{n\left(1+\frac {1} {2}+\frac {1} {3}+ \cdots+\frac {1} {n}\right)}$$ no convergen.