Solución para este caso concreto

Question

$$ U_{xy}+\frac{2}{x+y}\left(U_{x}-U_{y}\right)=0 $$ con las condiciones de frontera $$ U(x_{0},y)=k(x_{0}-y)^{3}\\ U(x,y_{0})=k(x-y_{0})^{3} $$ donde $k$ es una constante dada por $k=U_{0}(x_{0}-y_{0})^{3}$. $x_{0}$, $y_{0}$ y $U(x_{0},y_{0})=U_{0}$ son conocidos. La solución para el PDE está dada por $$ U(x,y)=(x-y)^{5}\frac{\partial ^{4}}{\partial x^{2}\partial y^{2}}\left(\frac{f(x)-g(y)}{x-y}\right) $$ Después de algunas simplificaciones puedo conseguir $$ U(x,y)=2\left(f"(x)-g(y)\right)(x-y)^{2}-12\left(f'(x)+g'(y)\right)(x-y)+24\left(f(x)-g(y)\right) $$ donde $f(x)$ $g(y)$ están por determinar. Estoy en busca de condiciones que garantizan la unicidad de la solución de este PDE. Cualquier ayuda será apreciada. Gracias, Abiyo

p.s he probado el siguiente enfoque, pero no funcionó. $$ U(x_{0},y_{0})=2\left(f"(x_{0})-g"(y_{0})\right)(x_{0}-y_{0})^{2}-12\left(f'(x_{0})+g'(y_{0})\right)(x_{0}-y_{0})+24\left(f(x_{0})-g(y_{0})\right) $$ There are six unknowns $f(x_{0}),f'(x_{0}),f"(x_{0}),g(x_{0}),g'(x_{0})$ and $g"(y_{0})$. Assume $5$ los valores y el sexto es determinado. A partir de ahí me proceder a encontrar dos Odas y puedes encontrar una solución para el PDE. La solución depende de mi elección de estas constantes y por lo tanto estoy buscando una restricción en este constantes.

Answer 1

Si $u \in C^1(\Omega)$, tomando el cambio de las variables de $x = \xi + \eta$ $y = \xi - \eta$ tienes que

\begin{align} \frac{\partial}{\partial x} &= \frac{\partial}{\partial \xi} + \frac{\partial}{\partial \eta}\\ \frac{\partial}{\partial y} &= \frac{\partial}{\partial \xi} - \frac{\partial}{\partial \eta} \end{align}

y

$$ \frac{\partial^2}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2}{\parcial \xi^2} + \frac{\partial^2}{\parcial \eta^2} $$

Por lo tanto, el PDE, que se transforma a

$$ \Delta u + \frac{2}{\xi} u_{\eta} = 0 $$

con

\begin{align} u\left(x_0, \xi - \eta\right) &= k\left(x_0 - \xi - \eta\right)^3 \\ u\left(\xi + \eta, y_0\right) &= k\left(\xi + \eta - y_0\right)^3 \end{align}

donde $\Delta$ es el operador Laplaciano en las nuevas variables $(\xi,\eta)$.

En este nuevo coordenadas, la ecuación (lineal) elíptica, y el estándar de existencia y unicidad teoremas se aplican. Ahora bien, dado que la transformación de $(x,y) \, \longrightarrow \, (\xi,\eta)$ es lineal y invertible, el resultado se mantiene en el $(x,y)$ coordenadas.