¿Monopolo magnético violar $U(1)$ medidor de simetría?

Question

Hace un monopolo magnético violar $U(1)$ medidor de simetría? En qué sentido y por qué?
En la medida en que sé, hay al menos dos tipos de monopolos magnéticos. Uno es el monopolo de Dirac, mientras que el otro es el monopolio en Gran Teorías Unificadas (INTESTINO), por ejemplo, 't Hooft-Polyakov monopolo.

En el último caso, algunos no Abelian teoría de gauge se descompone en un (compacto) $U(1)$ teoría de gauge en donde los monopolos se puede observar desde una gran distancia. El monopolo campo no es de la $U(1)$ grados de libertad y nada es singular.
Por el contrario, monopolo de Dirac es singular (topológicas defecto?) y debemos introducir Dirac cadena o parches de vector potencial de $\vec{A}(x)$. Son estos ya más de artefactos procedentes de cuando uno intenta describir el monopolio de campo dentro de la $U(1)$ teoría de gauge asumiendo $\vec{B}=\nabla\times\vec{A}$? Parece cierto, ya que dos de las ecuaciones de Maxwell que monopolo magnético puede afectar puede ser echado en el diferencial de la forma $\mathrm{d}F=0$ $F=\mathrm{d}A$ en el espacio-tiempo de Minkowski, a partir de que $U(1)$ invariancia gauge se manifiesta por $\mathrm{d}(A+\mathrm{d}\chi)=\mathrm{d}A$.

Sin embargo, más tarde me di cuenta de dos seminal papeles en monopolo de Dirac http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevD.12.3845 y http://dx.doi.org/10.1016/0550-3213(76)90143-7, en la que los autores afirmaron los siguientes

• electromagnetismo sin monopolo $\rightarrow$ conexión en un trivial $U(1)$ paquete
• electromagnetismo con monopolo $\rightarrow$ conexión en un trivial $U(1)$ paquete
  Y la función de onda de un electrón alrededor de un monopolo de Dirac, debe ser considerado como una sección que está libre de discontinuidades.

No tengo idea acerca de la fibra de paquete. De todos modos supongo que $U(1)$ teoría no necesariamente expulsar a los monopolos de Dirac. Tiene algo que ver con la topología de algunos colector en la teoría? Que el colector? ¿Alguien puede arrojar luz sobre este interesante tema? Gracias de antemano.

Answer 1

No, un monopolo magnético en la cadena de Dirac no "violar" medidor de simetría. Más bien, la declaración de que "tenemos un monopolo magnético" sólo significa que estamos obligados a considerar la teoría de gauge no en todo el espacio-tiempo, pero en el espacio-tiempo con la ubicación de la monopolo magnético eliminado. Por qué? Porque, en la ubicación del monopolo magnético, la curvatura del campo magnético no se desvanecen (tiene una fuente/sumidero!), y por lo tanto la ecuación que nos permite definir el medidor de campo, es decir,$\mathrm{d}F = 0$, no se cumple.

Esto es válido en todas partes, sin embargo, y por lo tanto consideramos que la teoría de gauge en el espacio con un único punto eliminado. Pero $\mathbb{R}^3 - \{0\}$ es homotopically equivalente a la esfera $S^2$, que es topológicamente no-trivial - usted no puede contratar la esfera o $\mathbb{R}^3-\{0\}$ sin problemas a un punto porque el monopolo es "en el camino". Esto es no un verdadero defecto en el espacio-tiempo, sino simplemente una consecuencia de nosotros "rescatar" el indicador descripción aunque el monopolo nos prohíbe hacerlo a nivel mundial. Se trata de un defecto en la teoría de gauge.

La descripción local en la esfera de la $S^2$ es más fácil de lograr por sólo tomar dos locales medidor de campos que se definen en el hemisferio superpuestas en el ecuador, y tenemos una solución coherente a nivel mundial de la definimos un medidor de transformación en la superposición que pega el local juntos las soluciones¹, que es sólo un círculo - $\mathrm{U}(1)$ nuevo. Por lo tanto, debemos dar un suave mapa de $\mathrm{U}(1)\to\mathrm{U}(1)$ desde el círculo a sí mismo. Este tipo de mapas son sólo dada por el devanado del círculo de $n$ veces alrededor de sí mismo, si usted escribe $\mathrm{U}(1) = \{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi} \vert \phi\in[0,2\pi)\}$, entonces la transición de la función es $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}\mapsto\mathrm{e}^{n\mathrm{i}\phi}$. Esta transición función totalmente caracteriza el paquete, por lo tanto, hay ahora $\mathbb{Z}$ diferentes estructuras de paquetes que pueden ocurrir. El $n\in\mathbb{Z}$ caracteriza el monopolo como tener la carga magnética $\frac{2\pi}{e}n$.

Ahora, la "cadena de Dirac" es simplemente un artefacto que se produce si se intenta forzar una solución global de los locales. Si usted toma la solución en uno de los hemisferios y se extienden tan lejos como usted puede, usted encontrará que usted puede extender a todas partes, pero en el polo opuesto. Si nos "morph" la esfera en $\mathbb{R}^3-\{0\}$, entonces el polo (como todos los puntos) se transforma en una línea. En la línea que corresponde al polo, la solución no está definido - esta es la famosa cadena de Dirac. Pero el recuerdo que nos había otra solución local - si se nos pegue de nuevo (o cambiar entre ellos como necesitamos a), obtenemos una descripción de la totalidad de $\mathbb{R}^3 - \{0\}$, y la cadena de Dirac se desvanece. La cuantización como $\frac{2\pi}{e}$ de la carga magnética surge de la necesidad de que este artefacto debe ser indetectable en la búsqueda de soluciones locales, y por lo tanto no está permitido a causa de una consecuencia física, y sólo para estos magnético de los cargos, el Aharonov-Bohm efecto de dicha línea se desvanece.

El encolado de las soluciones locales, de hecho, es una construcción de los principales paquete sin decirlo explícitamente conocido como el de la construcción de un manojo cocycles. Si tenemos un global de la solución, entonces no tenemos que pegar, y elegimos $n = 0$, que corresponde a la trivial paquete, y no monopolo magnético, ya que la solución es entonces, en principio, extensible a todos los de $\mathbb{R}^3$ e hicimos toda una pelusa de nada.

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^{1El encolado técnicamente funciona como esto - tome el encolado de transformación de $\chi : S^1 \to \mathrm{U}(1)$ y las dos soluciones locales $A_1,A_2$ y establezca $A_2 = A_1 + \mathrm{d}\chi$. O bien, vea a su distribuidor de soluciones y encontrar $\chi$ tal de que esto funciona.}