Elemento conmutador con subgrupo normal de $p$ -grupo

Question

Sea $p$ sea un primo. Supongamos que $N\triangleleft G$ donde $|G| = p^n$ ( $n>2$ ) y $|N| = p$ . Demostrar que existe $g\not\in N$ tal que $gn = ng$ para todos $n\in N$ .

Se supone que debo demostrarlo sin utilizar la ecuación de clase, ya que aún no hemos llegado a ella en nuestro curso de teoría de grupos. Así que no puedo usar esa $p$ -tienen centro no trivial. ¿Cómo podría enfocar esto?

Answer 1

Sea $C_{G}(N)$ denota el conjunto de elementos de $G$ conmutando con todos los elementos de $N$ . Observe que $C_{G}(N)$ forma de hecho un subgrupo, y $N \le C_{G}(N)$ Así que $|C_{G}(N)| \ge p$ .

Supongamos que $|C_{G}(N)| = p$ . En $N$ es normal en $G$ la acción de conjugación de $G$ conserva $N$ . Es decir, para cada $g \in G$ tenemos una permutación de $|N|$ elementos dados por $\phi_{g} (n) = g^{-1} n g$ . Entonces $g\mapsto \phi_g$ es un homomorfismo de $G \to S_{|N|}$ .

Tenga en cuenta que $C_{G}(N)$ es exactamente el núcleo de este homomorfismo. Por lo tanto, por el primer teorema de isomorfismo, $G/C_{G}(N) \le S_{|N|}$ . En cuanto a los pedidos, tenemos $|G/C_{G}(N)| = p^{n-1}$ debe dividir $|N| = p$ . En $n>2$ Esto es imposible.

Así, $|C_{G}(N)| > p$ lo que significa que hay un elemento de $C_{G}(N)$ que no está en $N$ .