Encontrar la suma de la planta de la serie de la identidad

Question

Agradecería si alguien me podría ayudar con el siguiente problema:

P: ¿Cómo se prueba ?

El número de divisores positivos de $n$ se denota por a $d(n)$

$$\sum_{i=1}^n\left\lfloor\frac{n}i\right\rfloor=\sum_{k=1}^nd(k)$$

Answer 1

Esto es básicamente la que se intercambia el orden de las sumas.

$$\sum_{k=1}^n d(k) = \sum_{k\le n} \sum_{d\mediados de k} 1 = \sum_{\substack{k\le n\\d\ \ mediados de k}} 1 = \sum_{q\le n} 1 = \sum_{d\le n} \sum_{q\le \frac nd} 1 =\sum_{d\le n} \left\lfloor \frac nd \right\rfloor= \sum_{d=1}^n \left\lfloor \frac nd \right\rfloor$$

Todas las sumatorias son llevados a través entero índices.

Lo dejo a usted para revisar en detalle si $\{(k,d); k,d\in\mathbb N, k\le n, d\mid k, \}=\{(qd,d); q,d\in\mathbb N, qd\le n\}=\{(dq,d); q,d\in\mathbb N, q\le\frac nd\}$, que es la razón por la que no solamente son expresiones diferentes de la misma suma.

Answer 2

Prueba por inducción. Si $n=1$, $1=d(1)$ Verdadero.

Asumir por $n=q$,

A continuación, $$\sum_{i=1}^q\left\lfloor\frac{q}i\right\rfloor=\sum_{k=1}^qd(k)$$

Agregar $d(q+1)$ a ambos lados tenemos $$\lfloor\frac{q}{1} \rfloor+ \lfloor\frac{q}{2} \rfloor + \cdots + \lfloor\frac{q}{q} \rfloor + d(q+1)=\sum_{k=1}^{q+1}d(k)$$

Pero el número de divisores de a $q+1$ -1 es el número de veces que el piso funciones aumentará en 1. Por lo tanto, por inducción que contiene.