Las pruebas de simetría sobre una curva/línea

Question

En la Escuela secundaria Álgebra , después de estudiar la forma de trazar un gráfico de $f(x)$ (en lugar llamado $y$) en contra de $x$ en coordenadas Cartesianas, se estudiaron varias pruebas para determinar la simetría de los trazados gráficos acerca de la $x$ $y$ ejes, y alrededor del punto de origen.

Las pruebas parecía bastante simple e intuitiva, usted puede buscar en Google si usted necesita.

Sin embargo, cuando pensé en la investigación de la simetría de una función determinada (es decir $f(x)$) sobre una determinada ecuación de una recta o una curva (decir $g(x)$), la solución no parece ser intuitivo.

El caso parecía trivial y fácil al $g$ fue simplemente $x=0$ o $y=0$, pero, ¿qué acerca de otros casos al $g(x)$ es de hecho una función de $x$?

Es decir, Cómo investigar la simetría de $f(x)$$g(x)$?

Otra pregunta que se cruzó por mi mente al pensar en la primera de ellas fue el caso de $f(x)$ no es simplemente una sola función, como en la discusión de si dos funciones (decir $v(x)$$s(x)$) formaron un reflejo el uno del otro alrededor de un tercio de la función (es decir $g(x)$) o no. El caso de nuevo, parece bastante simple cuando se $v(x) = inverse(s(x))$ , e $g(x)=x$. Aunque sé que no existe ninguna prueba de eso, pero es siempre el caso de que una función y su inversa son simétricas alrededor de $g(x)=x$. Y, de nuevo, no puedo pensar en una posible manera de comprobar la simetría de las dos curvas separadas alrededor de un tercio de la curva, o incluso generar una imagen de espejo de una curva sobre la otra curva (se puede considerar que la última frase de una tercera parte de la pregunta).

Answer 1

¿Cómo podemos definir el "espejo" o la reflexión a través de una línea? Si usted tiene una línea de $\ell$ y un punto de $A$, la imagen de $A$ través $\ell$ es construido por la caída de una perpendicular de $A$ a $\ell$, y la duplicación (es decir, la ampliación de la misma por su propia longitud) en el otro lado de la $\ell$ para obtener un punto de $A'$ al final del segmento. La reflexión a través de un punto de $O$ es aún más simple. Para obtener la imagen de $A$, únete a $A$ $O$ y el doble que el segmento, para obtener el $A'$ al final del segmento duplicado.

Podemos definir a la reflexión a través de un círculo, y también: esto se llama inversión y tiene muchas propiedades interesantes. La misma técnica puede ser extendida a una de tres dimensiones círculo (una esfera), una de cuatro dimensiones círculo, etc.

Tenga en cuenta que todas estas reflexiones tienen algunas características comunes:

• Cada punto, que tiene una imagen, tiene una única imagen. (Y con un poco de estiramiento de los conceptos de la geometría (por ejemplo. mediante la introducción de un punto/línea en el infinito), incluso se puede decir que cada punto tiene una imagen).
• Si $A'$ es la imagen de $A$, $A$ es la imagen de $A'$ en el mismo reflejo.
• Si una función continua/locus/gráfico se refleja la imagen es todavía continua.

Supongamos que se desea definir la reflexión a través de una curva arbitraria. Para simplificar las cosas, supongamos que esta curva es en realidad una función de $x$ en el plano Cartesiano. Obviamente, un método de reflexión, como que por un punto no va a funcionar. Si tratamos de utilizar el método de línea, nos encontramos con que el 'perpendicular' de un punto a una curva arbitraria no es el único, de hecho, siempre que la curva es no una línea (es decir, siempre que las tangentes a la curva en dos puntos diferentes no son paralelas), habrá al menos un punto con al menos dos perpendiculares de la misma longitud. Esto viola todas las tres propiedades comunes.

Del mismo modo, no podemos utilizar la inversión de método, puesto que depende mucho de la [relativamente bueno] propiedades de un círculo. En general, no sabemos de un método de reflexión que trabaja para arbitrario curvas y satisface las tres propiedades que, si usted piensa acerca de ellos, son bastante razonables expectativas.

Answer 2

En lugar de llamarlo el eje de simetría, voy a llamar a la función de la simetría. Una de las características de simetría es que la función de la simetría debe estar a una distancia igual entre el original y la imagen de espejo. Sugiero que utilizamos líneas perpendiculares a la función de la simetría para definir los puntos que en el original y el espejo de la imagen corresponden a cada uno.
Para encontrar la pendiente de una función, podemos calcular su derivada. $g'(x)$
Para convertir la pendiente perpendicular a la pendiente: $\frac{-1}{Slope}=\frac{-1}{g'(x)}$
Creación de reflejo de la $f(x)$$g(x)$:
Considere la posibilidad de creación de reflejo de la que el único punto de $(x, y)$$g(x)$.
Deje $(a, g(a))$ igual al punto en $g(x)$ a que la línea perpendicular a la voluntad de la cruz.
La pendiente entre los dos puntos debe ser igual a la perpendicular a la pendiente. $$\frac{g(a)-y}{a-x}=\frac{-1}{g'(a)}$$ $$g'(a)(g(a)-y)=-1(a-x)$$ $$g'(a)g(a)-g'(a)y=x-a$$ Si íbamos a espejo de la función $f(x)$, la ecuación quedaría así: $$g'(a)g(a)-g'(a)f(x)=x-a$$ Vamos a usar $g(x)=x^2$ $f(x)=x$ como un ejemplo.
La pendiente en cualquier punto de la $g(x)$ es $2x$. $g'(x)=2x$ $$2a*a^2-2a*x=x-a$$ $$2a^3-2ax=x-a$$ Debemos resolver para $a$ para determinar la perpendicular del punto en $g(x)$. Por desgracia, este cúbicos función es difícil de resolver directamente. Hay maneras de aproximarse. $$2a^3+a-2ax=x$$ $$2a^3+a(1-2x)=x$$ $$a^3+a\frac{(1-2x)}{2}=\frac{x}{2}$$ $$a^2+\frac{(1-2x)}{2}=\frac{x}{2a}$$ $$a^2=\frac{x}{2a}-\frac{(1-2x)}{2}$$ $$a^2=\frac{x}{2a}+\frac{(2x-1)}{2}$$ $$a^2=\frac{x}{2a}+x-\frac{1}{2}$$ $$a=\sqrt{\frac{x}{2a}+x-\frac{1}{2}}$$ El uso de esta fórmula para aproximar $a$, se puede establecer $a$ igual a cualquier número que comience con (preferiblemente una buena conjetura). Conecte la fórmula en sí mismo muchas veces. La fórmula de la salida de un número más cercana a la verdadera $a$ cada vez. A continuación, calcular el $g(a)$ a ceder el punto en $g(x)$ a que la línea perpendicular va a ir a través de. $(a, g(a))$
Para obtener el punto correspondiente en el espejo de la función tenemos que añadir la diferencia entre las componentes x e y del punto inicial y el punto en $g(x)$ a, el punto en el $g(x)$. $$x_{new} = a+(a-x)$$ $$x_{new} = 2a-x$$ $$y_{new} = g(a)+(g(a)-f(x))$$ $$y_{new} = 2g(a)-f(x)$$ Usted puede utilizar esta técnica en varios puntos en $f(x)$ para obtener la forma general de su espejo, pero para obtener la ecuación para el espejo de $f(x)$ tendría que resolver la ecuación cúbica para $a$.
La Detección De La Simetría:
Deje $f(x)$ igual a la función de la simetría.
Deje $a(x)$ igual a la función original.
Deje $b(x)$ igual que el espejo de la función.
Deje $(x, f(x))$ igual a la perpendicular del punto.
Deje $(c, a(c))$ igual al punto original.
Deje $(d, b(d))$ igual que el espejo de punto.
La componente x y y diferencias deben ser iguales entre el espejo de punto y los otros dos puntos. $$c-x=x-d$$ $$c+d=2x$$ $$a(c)-f(x)=f(x)-b(d)$$ $$a(c)+b(d)=2f(x)$$ Comenzar con las tres funciones, no sabemos qué puntos se correlacionan. Comienzan con $(x, f(x))$ e ir de allí. Encontrar la intersección entre la línea perpendicular y el original y el espejo de la función. A continuación, para comprobar la simetría, confirmar las ecuaciones anteriores.
$$\frac{f(x)-a(c)}{x-c}=\frac{-1}{f'(x)}$$ $$f'(x)(f(x)-a(c))=-1(x-c)$$ $$f'(x)f(x)-f'(x)a(c)=c-x$$ $$f'(x)a(c)+c=f'(x)f(x)+x$$ $$f'(x)b(d)+d=f'(x)f(x)+x$$ Resolver para $c$ $d$ según sea necesario.
Como ejemplo vamos a demostrar que una función y su inversa se reflejan más $f(x)=x$. $f'(x)=1$ $$a(c)=g(c)$$ $$b(d)=g^{-1}(d)$$ $$1*g(c)+c=1*x+x$$ $$g(c)+c=2x$$ $$g^{-1}(d)+d=2x$$ Las ecuaciones a probar con lo que tenemos hasta ahora son: $$c+d=2x$$ $$g(c)+g^{-1}(d)=2x$$ La definición de una función inversa, podría decirse que es la conmutación de la $x$ e las $y$ valores. Lo que significa: $$g(c)=d$$ $$g^{-1}(d)=c$$ Conectar aquellas en las ecuaciones obtenemos: $$c+d=2x$$ $$g(c)+g^{-1}(d)=2x$$ Por lo tanto, demostrado.
La creación de una función de simetría:
El uso de las ecuaciones en la sección anterior: $$f'(x)a(c)+c=f'(x)f(x)+x$$ $$f'(x)b(d)+d=f'(x)f(x)+x$$ $$c+d=2x$$ $$a(c)+b(d)=2f(x)$$ $$f(x)=\frac{a(c)+b(d)}{2}$$ $$f(x)=\frac{a(c)}{2}+\frac{b(d)}{2}$$ $$f'(x)=\frac{a'(c)}{2}+\frac{b'(d)}{2}$$ $$(\frac{a'(c)}{2}+\frac{b'(d)}{2})a(c)+c=(\frac{a'(c)}{2}+\frac{b'(d)}{2})f(x)+x$$ $$(a'(c)+b'(d))\frac{a(c)}{2}+c=(a'(c)+b'(d))\frac{f(x)}{2}+x$$ $$(a'(c)+b'(d))a(c)+2c=(a'(c)+b'(d))f(x)+2x$$ $$(a'(c)+b'(d))f(x)=(a'(c)+b'(d))a(c)+2c-2x$$ $$f(x)=a(c)+\frac{2c-2x}{a'(c)+b'(d)}$$ $$f(x)=b(d)+\frac{2d-2x}{a'(c)+b'(d)}$$ $$a(c)+\frac{2c-2x}{a'(c)+b'(d)}=b(d)+\frac{2d-2x}{a'(c)+b'(d)}$$ $$a(c)(a'(c)+b'(d))+2c-2x=b(d)(a'(c)+b'(d))+2d-2x$$ $$a(c)(a'(c)+b'(d))+2c=b(d)(a'(c)+b'(d))+2d$$ Ahora tenemos una relación que podemos utilizar para determinar los puntos correspondientes.
Permite el uso de $a(x)=x^2$ $b(x)=x$ como un ejemplo. $a'(x)=2x$ $b'(x)=1$ $$c^2(2c+1)+2c=d(2c+1)+2d$$ $$2c^3+c^2+2c=2cd+d+2d$$ $$2c^3+c^2+2c=2cd+3d$$ $$2c^3+c^2+2c=d(2c+3)$$ $$d=\frac{2c^3+c^2+2c}{2c+3}$$ El punto de $(x, f(x))$ debe estar en el punto medio de la $(c, a(c))$$(d, b(d))$. $$f(x)=\frac{a(c)+b(d)}{2}$$ $$f(x)=\frac{c^2+d}{2}$$ $$f(x)=\frac{c^2+\frac{2c^3+c^2+2c}{2c+3}}{2}$$ $$x=\frac{c+d}{2}$$ $$x=\frac{c+\frac{2c^3+c^2+2c}{2c+3}}{2}$$ Nuestro objetivo debe ser conseguir el $f(x)$ en términos de $x$. $$2x=c+\frac{2c^3+c^2+2c}{2c+3}$$ $$2x-c=\frac{2c^3+c^2+2c}{2c+3}$$ $$f(x)=\frac{c^2+2x-c}{2}$$ $$f(x)=x+\frac{c^2-c}{2}$$ Ahora tendríamos que resolver para $c$ directamente en la solución para la función de la simetría, sin embargo es una cúbicos y difícil de resolver para: $$2x-c=\frac{2c^3+c^2+2c}{2c+3}$$ Usted puede utilizar un método de aproximación como la que he utilizado anteriormente para buscar los puntos a lo largo de la función de la simetría, pero para encontrar la ecuación tendría que resolver directamente. $$(2x-c)(2c+3)=2c^3+c^2+2c$$ $$4xc+6x-2c^2-3c=2c^3+c^2+2c$$ $$2c^3+3c^2+5c-4xc=6x$$ $$2c^2+3c+5-4x=\frac{6x}{c}$$ $$c^2+\frac{3c}{2}+\frac{5}{2}-2x=\frac{3x}{c}$$ $$c^2+\frac{3c}{2}=\frac{3x}{c}+2x-\frac{5}{2}$$ $$c^2+\frac{3c}{2}+(\frac{3}{4})^2=\frac{3x}{c}+2x-\frac{5}{2}+(\frac{3}{4})^2$$ $$(c+\frac{3}{4})^2=\frac{3x}{c}+2x-\frac{5}{2}+\frac{9}{16}$$ $$c+\frac{3}{4}=\sqrt{\frac{3x}{c}+2x-\frac{40}{16}+\frac{9}{16}}$$ $$c=\frac{-3}{4}+\sqrt{\frac{3x}{c}+2x-\frac{31}{16}}$$ Condensado Resumen: $$a(c)(a'(c)+b'(2x-c))+4c=b(2x-c)(a'(c)+b'(2x-c))+4x$$ Resolver para $c$ y el enchufe $c$ en $$f(x)=x+\frac{c^2-c}{2}$$ Esto también puede ser utilizado como un método de detección de la simetría.