Actualmente estoy tratando de encontrar una forma cerrada de expresión para $\displaystyle f(z) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} \frac{1}{z^3 - n^3}$, $z \in \mathbb{C}$. Después de una serie de giros y vueltas, me han golpeado una pared.
Hoy creo que la mejor manera de proceder es utilizar un parcial de las fracciones. Así, cuando vemos que $\dfrac{1}{z^3 - n^3} = \dfrac{1}{n^2(z - n)} + \dfrac{\omega}{n^2(z - \omega n)} + \dfrac{\omega^2}{n^2(z - \omega^2 n)} = $
$= \dfrac{-1}{z^2(n - z)} + \dfrac{-\omega}{z^2(n - \omega z)} + \dfrac{-\omega^2}{z^2 (n - \omega^2 z)}$ (dependiendo de la manera en que usted desea factor, y donde $\omega$ es la primera raíz cúbica de la unidad.
Mi proceso de pensamiento es, más o menos, que se trate de una función cuyos polos y residuos en los polos de acuerdo - entonces su diferencia es toda una función. Y si estamos ingenioso, la diferencia incluso puede ser cero. En estas fracciones parciales formas, es muy fácil ver lo que los polacos y los residuos de mi función. Pero no he sido capaz de encontrar una función muy cómoda con los polos (que va a llevar a alguna forma cerrada al final del día).
Esto es en realidad un ejercicio de Ahlfors, pg 191 número 2. La sección en la que se está dedicada a Mittag-Leffler, que es parte de la razón por la que estoy tan predispuestos para el uso de la raíz de la comparación de la estrategia.
Uno podría asumir que si somos capaces de hacerlo por cualquiera de los tres términos de la fracción parcial de descomposición, entonces estamos conjunto. Se nota, sin embargo, que el primero de mis dos deconpositions se comporta mucho mejor que la segunda (como todos los términos convergen muy bien mientras no consideramos los polos en la primera, pero cada serie diverge en su propia en el segundo).