Calcular el grupo fundamental de la $\mathbb R^3 \setminus A$ $A$ un círculo

Question

Deje $ X = \mathbb R^3 \setminus A$ donde $A$ es un círculo. Me gustaría calcular el $\pi_1(X)$, el uso de van Kampen. No sé cómo abordar este en el all - I no puede ver un abrir/NDR par $C,D$ tal que $X = C \cup D$ $C \cap D$ es la ruta de acceso conectado en el que el uso de van Kampen.

Cualquier ayuda se agradece. Gracias

Answer 1

No estoy seguro de si hay una mejor opción, pero esto es lo que yo pienso acerca de ello. Intuitivamente el grupo fundamental debería ser $\mathbb Z$ - una ruta de acceso puede saltar por el aro de un par de veces o no. Puedo elegir el open ajusta a este modelo un poco. Un conjunto abierto es el interiour de un relleno toro con el círculo situada en la superficie. El otro conjunto es el conjunto de los $\mathbb R^3$ con el disco cerrado (delimitada por el círculo) quitado. A continuación, el primer conjunto de contratos por un círculo, el segundo conjunto de contratos a una esfera y la intersección es contráctiles.

Edit: Para hacer los conjuntos más precisos: $$U=\mathbb R^3-D^2\simeq S^2$$ tal que $$A=\partial D^2\subseteq D^2$$ y $$V=int(S^1\times D^2)\simeq S^1$$ tal que $$A=\ast\times \partial D^2\subseteq S^1\times D^2.$$ A continuación, $$U\cap V=int(S^1\times D^2-\ast\times D^2)\cong int(I\times D^2)\simeq\ast$$

Answer 2

Definitivamente, usted debe comprobar fuera de la Hatcher Topología Algebraica libro en la página 46.

Fue muy difícil para mí imaginar al principio, pero $\mathbb{R}^3 - S^1$ deformación se retrae en $S^1 \wedge S^2$, por lo que acaba de elegir a $S^1$ $S^2$ C y D, respectivamente, desde el espacio en forma de cuña producto de dos espacios, el cruce va a ser un solo punto(por definición), cuyo grupo fundamental es trivial seguro. Del mismo modo $\pi_1(S^2)$ es también trivial, a continuación, $\pi_1(\mathbb{R}^3 - S^1)$ es isomorfo al grupo fundamental del círculo que es $\mathbb{Z}$.