¿Qué es $\lim_{n \rightarrow \infty}\sum\limits_{k = 1}^n\frac{k}{n^2}$?

Question

Tenemos $$\dfrac{1+2+3+...+ \space n}{n^2}$$

¿Cuál es el límite de esta función como $n \rightarrow \infty$?

Mi idea:

$$\dfrac{1+2+3+...+ \space n}{n^2} = \dfrac{1}{n^2} + \dfrac{2}{n^2} + ... + \dfrac{n}{n^2} = 0$$

Es esto correcto?

Answer 1

SUGERENCIA:

La aplicación de límite (esp. a $\infty$) individual sumando sólo es aplicable cuando el número de sumando es finito.

$$\dfrac{1+2+3+...+ \space n}{n^2} =\frac{\frac{n(n+1)}2}{n^2}=\frac12\cdot\left(1+\frac1n\right)$$

Answer 2

Otro método, utilizando las sumas de Riemann aplicado a $f:x\mapsto x$: $$ \frac{\sum_{k=1}^n k }{n^2} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \frac{k }{n} \xrightarrow[n\to\infty]{} \int_{0}^{1} xdx $$

En cuanto a tu pregunta, cada término va a $0$, pero el número de términos que crece; no en el caso de que la suma de los "constantemente muchos términos, cada uno de ellos convergentes".

Answer 3

Recordemos que $$1 + 2 + \cdots + n =\sum_{i = 1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$$

Así que usted desee $$\lim_{n\to \infty}\dfrac{n(n+1)}{2n^2} = \lim_{n\to\infty}\frac{n^2+ n}{2n^2} = \lim_{n\to \infty} \left(\frac 12 + \frac 1{2n}\right)$$

Answer 4

Su método está mal. Consideran que el primero de los valores de la expresión:

• para $n=1$ obtener $1$;
• para $n=2$ obtener $1/4+2/4=3/4$;
• para $n=3$ anual consigue $1/9+2/9+3/9=6/9=2/3$.

Uno podría hacer la conjetura de que estos términos son siempre más grande que la de $1/2$, que se puede demostrar por inducción. Vamos $$ f(n)=\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n i $$ Tenemos $f(1)=1>1/2$. Supongamos que la afirmación se sostiene para $f(n)$ y considerar \begin{align} f(n+1)&=\frac{1}{(n+1)^2}\sum_{i=1}^{n+1} i\\ &=\biggl(\frac{1}{(n+1)^2}\sum_{i=1}^{n} i\biggr)+\frac{n+1}{(n+1)^2}\\ &=\frac{n^2}{(n+1)^2}\biggl(\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n i\biggr)+\frac{1}{n+1}\\ \text{(by induction hypothesis)}\qquad&>\frac{1}{2}\frac{n^2}{(n+1)^2}+\frac{1}{n+1}\\ &=\frac{1}{2}\frac{n^2+2n+2}{(n+1)^2}\\ &=\frac{1}{2}\biggl(\frac{n^2+2n+1}{(n+1)^2}+\frac{1}{(n+1)^2}\biggr)\\ &=\frac{1}{2}\biggl(1+\frac{1}{(n+1)^2}\biggr)\\ &>\frac{1}{2} \end{align} Por lo tanto, su conclusión de que el límite es de $0$ no puede ser cierto.