Estoy pasando por un problema extraño aquí. Como sabemos, la ecuación en coordenadas Cartesianas para una línea en 2-dimensiones de la geometría Euclidiana es de la forma $ax+by+c=0$. Me pregunto ¿por qué nos "creemos" que el trazan gráfica es la misma "línea" como en nuestra intuición.
Puede sonar loco, pero pensar en el tiempo cuando aún no se dispone de las coordenadas, no de los ejes, no se geometría analítica. Cuando Descartes comenzó a captar el concepto de que las ecuaciones representadas figuras geométricas (o más exactamente, loci) se habría tratado de trazado de formularios sencillos en primer lugar, y ¿qué otra cosa podría ser más fácil que $y=x$ o $y=2x+3$ etc. Trazado aquellos reveló algo, evidentemente, una línea a su (y nuestro) los ojos desnudos, pero no sería apropiado para un matemático a la conclusión de que solo el que la cifra es en realidad una "línea", ¿verdad?
Para saltar de nuevo a nuestro propio tiempo, si nos olvidamos de una vez que el $ax+by+c=0$ "es" una línea, mirándola con ojos frescos, con qué criterios utilizamos para decir que es así. He probado algunas regular las caracterizaciones de la línea (especialmente el geométrica) y que todavía no han encontrado una respuesta satisfactoria todavía. Aquí están algunos:
- La línea es el camino más corto wrt. la distancia Euclidiana entre dos puntos: suena bien, excepto que la distancia Euclidiana se basa en la intuición de que la "distancia" es la longitud de la línea que conecta dos puntos (o más exactamente, la longitud de arco de la medida a lo largo de la ruta de la línea recta.) Por supuesto, se podría argumentar que ACEPTAR por sí mismo para definir la distancia como $\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$ sin hacer referencia a la línea de bajo, pero esto suena a ser un poco ad hoc, para la reclamación.
- Dados dos puntos, no es exactamente una línea que pasa a través de ambos: yo interpreto esto como "Dada una familia de curvas, si para cualesquiera dos puntos dados no es exactamente una curva en la familia que pasa a través de ambos puntos, entonces la familia es adecuadamente entendida como la familia de "líneas", y llamamos a las curvas individuales de líneas.'" A primera vista, esto tiene el escrutinio, como muchas familias de círculos o de parábolas o de otros "curvas" no satisfacen la propiedad (porque cualquier familia satisfactorios deben tener como corolario la siguiente propiedad: cualquiera de las dos curvas en la familia se intersectan en el punto 1 en la mayoría.) Pero luego de considerar a la familia $\{ax^3+by^3+c=0|a,b,c \in \mathbb{R}\}$ (o más generalmente, $\{ax^m+by^n+c=0|a,b,c \in \mathbb{R}\}$ $m,n$ impares enteros positivos), esta familia no sólo satisface la 2-punto 1 de la línea de propiedad, sino también el postulado paralelo: "dada una 'línea' y un punto no en la "línea", no es exactamente una 'línea' paralela a la 'línea' pasa por el punto dado (donde 'paralelo' significa 'tener ninguna intersección')"
- Una línea es una curva cóncava y convexa al mismo tiempo: Esto también sufre por el hecho de que la intuición subyacente a la definición de "convexo" y "cóncavo" contiene la referencia a la línea recta. Por ejemplo, hemos definido la curva a ser convexa si para cualesquiera dos puntos sobre la curva se encuentra por debajo de la recta que une los dos puntos, por lo tanto $f(tx+(1-t)y) \leq tf(x)+(1-t)f(y), \forall t \in [0,1]$
- De alguna manera, no estoy a gusto con las caracterizaciones de la línea como los extremos de los vectores (por ejemplo, la línea que conecta los puntos de $A,B$ como la colección de los extremos de $l(t)=ta+(1-t)b, \forall t \in \mathbb{R}$ donde $a,b$ son los vectores de posición de $A,B$ respectivamente). Parece que se basan en la representación de vectores en 2-D el espacio Euclidiano (o 2-D afín espacio) por los rayos, que para mí es sólo la mitad de una línea, haciendo la descripción de la circular.
Un enfoque que estoy pensando es que buscando en la vida real de la construcción de la línea. En la geometría Euclidiana hay dos herramientas básicas, la regla y el compás. La "definición" (o caracterización) de un círculo en términos mecánicos es el conjunto de puntos trazada por el lápiz de punta mientras que la brújula radio se mantenga quieto. Esto se traduce en la definición geométrica del círculo como los lugares geométricos de los puntos de equidistancia de un punto dado. Siguiendo esta línea de pensamiento, la línea es el loci de... ¿qué?
Lo siento por el post largo y confuso criterios personales de decidir lo que equivale a una "explicación" de una línea recta. Me estoy quedando sin ideas, por lo que si usted tiene alguna, por favor dígame.
Gracias de antemano.
PS. Este no es mi tarea escolar o proyecto de investigación. Solo estoy haciendo esto por diversión y que querían escuchar las opiniones de otras personas sobre el tema.
