Mostrar que $(x^2-yz)^3+(y^2-zx)^3+(z^2-xy)^3-3(x^2-yz)(y^2-zx)(z^2-xy)$ es un cuadrado perfecto y encontrar su raíz cuadrada.

Question

Mostrar que $(x^2-yz)^3+(y^2-zx)^3+(z^2-xy)^3-3(x^2-yz)(y^2-zx)(z^2-xy)$ es un cuadrado perfecto y encontrar su raíz cuadrada.

Mi trabajo:
Vamos, $x^2-yz=a,y^2-zx=b,z^2-xy=c$. Así, podemos tener,
$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$
$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=\dfrac12[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2]\cdot\dfrac12[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]$

Ahora, me metí en un lío. Tengo dos productos con la suma de tres cuadrados que no puedo manejar ni puedo mostrar esto a ser un cuadrado perfecto. Por favor, ayudar.

Answer 1

SUGERENCIA:

$$(x^2-yz)^3-(x^2-yz)(y^2-zx)(z^2-xy)$$

$$=(x^2-yz)[(x^2-yz)^2-(y^2-zx)(z^2-xy)]$$

$$=(x^2-yz)x(x^3+y^3+z^3-3xyz)$$

$$=(x^3-xyz)\underbrace{(x^3+y^3+z^3-3xyz)}$$

Como los términos en virtud de la abrazadera es simétrica wrt $x,y,z$

vamos a llegar a expresiones similares de

$$(y^2-zx)^3-(x^2-yz)(y^2-zx)(z^2-xy)$$ and $$(z^2-xy)^3-(x^2-yz)(y^2-zx)(z^2-xy)$$

Answer 2

El uso de la fórmula $$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=\frac{1}{2}(a+b+c)((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)$$ and then notice that $a-b=x^2-y^2+zx-yz=(x-y)(x+y+z)$ This will lead you to get the answer as $(x^3+y^3+z^3-3xyz)^2$ como se ha señalado por Ewan Delannoy.