¿Existe una función tal que $\lim_{x \to a} f(x) = L$ todos los $a \in \mathbb R$ pero $f(x)$ nunca $L$?

Question

¿Existe una función de $f:\mathbb R \to \mathbb R$ tal que $\lim_{x \to a} f(x) = L$ todos los $a \in \mathbb R$ pero $f(x) \neq L$ todos los $x$?

He encontrado una función en $\mathbb Q \to \mathbb Q$ donde $f(\frac{p}{q})= \text{first p+q digits of }\pi$ satisface la condición anterior. Sin embargo, no he sido capaz de extender a los reales. Así, es una función de este tipo es posible, y si es así, ¿hay algún ejemplo claro de preferencia relacionadas con la función anterior en racionales?

Answer 1

Vamos a considerar en cualquier intervalo cerrado $[a, b]$. Deje $\epsilon > 0$ ser arbitrariamente dado. Para cada punto de $c$ $[a, b]$ hay un barrio $I_{c}$ $c$ tal que $$|f(x) - L| < \epsilon$$ for all $x \in I_{c} \setminus \{c\}$. Clearly all such intervals $I_{c}$ form an open cover for $[a, b]$ and by Heine Borel Theorem a finite number of such intervals say $I_{c_{1}}, I_{c_{2}}, \ldots, I_{c_{m}}$ cover $[a, b]$.

Se deduce pues que la $|f(x) - L| < \epsilon$ todos los $x \in [a, b]$, excepto para un número finito de puntos de $c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{m}$. Ahora elegimos los valores específicos de $\epsilon$. Para cada entero positivo $n$ tenemos un número finito, decir $k_{n}$, de los puntos en $[a, b]$ que $|f(x) - L| \geq 1/n$. Deje que el conjunto de puntos en $[a, b]$ que $|f(x) - L| \geq 1/n$ se denota por a $A_{n}$. A continuación, $A_{n}$ es un conjunto finito de cardinalidad $k_{n}$ y desde el conjunto de puntos en $[a, b]$ que $f(x) \neq L$ es, obviamente, contenidas en la unión de $\bigcup_{n = 1}^{\infty}A_{n}$ se sigue que el conjunto de puntos en $[a, b]$ que $f(x) \neq L$ es contable. De ello se desprende que $f(x) = L$ $[a, b]$ por una cantidad no numerable de puntos de $x$.

Answer 2

No. Supongamos que esto es cierto de $f(x)$. Considere la posibilidad de $A_n:= \{x: |f(x)-L|>1/n\}$. $\cup_n A_n=\mathbb{R}$ por supuesto. Si ninguno de los $A_n$ tenía una acumulación de puntos, a continuación, $\mathbb{R}$ sería una contables de la unión de conjuntos cuyos elogios son abiertos y densos. Tal unión debe tener abierto denso cumplido por la categoría de Baire teorema. Esta es una contradicción. Tal vez hay más elemental forma de hacerlo, aunque.

Como user254something señala, no necesita de categoría de Baire. Observar que discreto implica contables. A continuación, $\mathbb{R}$ es una contables de la Unión de conjuntos contables. Contradicción.

Answer 3

Supongamos $f$ es una función de este tipo. Como @Tim kinsella hizo, establezca $A_n = \{x\in [0,1]: |f(x) - L| > 1/n\}.$ $[0,1] = \cup A_n.$ por lo tanto algunos $A_{n_0}$ debe ser infinito. Por Bolzano-Weierstrass, $A_{n_0}$ tiene un punto de acumulación $x_0.$ $x_0$ es un límite de una secuencia $x_m$ tal que $|f(x_m) - L| > 1/n_0$ por cada $m.$ Desde $\lim_{x\to x_0} f(x) = L,$ tenemos una contradicción.