Esencial singularidad

Question

Este es un ejercicio de Gamelin.

Si $f(z)$ es una función compleja con una singularidad removible en $z_{0} \ $, $e^{f(z)} \ $ tiene una singularidad esencial en a $z_{0}$.

Cualquier sugerencia?

Answer 1

Si su función de $f$ tiene un polo en $z_0$ escritura $(z-z_0)^m f(z) = p(z) + (z-z_0)^m h(z)$ donde $h$ es holomorphic y $p$ es un polinomio de grado $<m$. A continuación,$f(z)= \displaystyle \frac{p(z)}{(z-z_0)^m} + h(z)$. Ahora tome $e$ a ambos lados, tenga en cuenta que $e^{h(z)}$ es holomorphic, y utilizar el poder de expansión de la serie de la exponencial para mostrar que $e^{\frac{p(z)}{(z-z_0)^m}}$ tiene infinidad de potencias negativas de $z-z_0$.

Answer 2

Yo no he visto en este tipo de material en un tiempo, pero Casorati-Weierstrass podría ayudar.

En particular, hay una secuencia $(z_k)$ convergentes a $z_0$ tal que $(f(z_k))$ converge a $w_0$ (esta es la página 175 de su libro). Desde $w_0$ es arbitrario se puede pensar de un determinado valor que ayuda a solucionar este problema?