¿Existe una noción canónica de divisor principal en un sistema dinámico discreto?

Question

Espero que esta pregunta esté bien planteada.

Sea (X, f) un sistema dinámico discreto tal que cada x en X tiene periodo finito, es decir, hay algún n tal que f^n(x) = x. Sea Div(X) el grupo abeliano libre sobre las órbitas de X. Cuando X es una curva algebraica no singular sobre el cierre algebraico de un campo finito k y f es el mapa de Frobenius, Div(X) es naturalmente isomorfo al grupo de ideales fraccionarios de k(X) (al menos, eso creo; corregidme si me equivoco). Hay un subgrupo distinguido Prin(X) formado por la preimagen de los ideales principales, y Div(X)/Prin(X) es el grupo de clases divisoras.

¿Existe una definición canónica de Prin(X) para sistemas dinámicos generales? Si no es así, ¿cuánta estructura adicional debe tener X para que una construcción como ésta tenga sentido y proporcione algún tipo de información útil sobre X?

El caso que me interesa es que X sea el conjunto de paseos cerrados aperiódicos sobre un grafo finito con un punto distinguido y f mueva el punto distinguido.

Answer 1

Esto no pretende ser una respuesta a tu pregunta, pero creo que en el contexto de ciertos juegos de disparar fichas en grafos se puede llevar bastante lejos la analogía con curvas algebraicas (aunque por diversas razones que no entiendo el campo correcto parece ser C en lugar de un campo de característica finita). En particular, se puede definir una noción de divisores principales, aunque no sé si es exactamente lo que quieres.

Véase, por ejemplo Postnikov y Shapiro o más explícitamente Baker y Norine y, obviamente, los artículos citados de ambos.