¿Hay una fórmula para la inversa de esta rodeada de la matriz?

Question

Supongamos que tengo una matriz de $\mathbf{H}$ del tamaño de la $n\times n$, y que yo sepa su inverso $\mathbf{W}=\mathbf{H}^{-1}$.

Luego añadir una columna y una fila de a $\mathbf{H}$ para obtener una nueva matriz $\mathbf{G}$. Que es $\mathbf{G}$ está dado por $$\mathbf{G}=\left( \begin{array}{c|c} r_1 & \begin{array}{ccc} r_2 & \cdots & r_n \end{de la matriz} \\ \hline \begin{array}{c} c_2 \\ \vdots \\ c_n \end{array} & {\Enorme{\mathbf{H}}} \end{array} \right) $$ Hay una relación entre el$\mathbf{W}$$\mathbf{G}$$\mathbf{G}^{-1}$?

Answer 1

El bloque de la matriz inversa de la fórmula se celebra: \begin{equation*} G^{-1} = \begin{pmatrix} a & x \\ y & H \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} \xi^{-1} & -\xi^{-1}xH^{-1} \\ -H^{-1}y\xi^{-1} & H^{-1} + H^{-1}y\xi^{-1}xH^{-1} \end{pmatrix} \end{ecuación*} donde $\xi = a - xH^{-1}y$, conocido como el complemento de Schur de $H$.