Divisores de Weil no Noetherian esquemas de

Question

Sea X un esquema integral que está separado (con más de un esquema afín). Definir un Weil divisor de un número finito integral de la combinación de la altura 1 puntos de X, donde la altura de un punto de X es la dimensión de su anillo local. Vamos a Z ser un cerrado subscheme de X, Z no es igual a X.

Hay un ejemplo de una X y Z donde Z contiene una infinidad de divisores de Weil?

Answer 1

Sí, hay ejemplos de este tipo (con X cuasi-compacto, de lo contrario es trivial). En general, existe un resultado debido a Hochster ("Prime las estructuras Ideales en anillos conmutativos", su tesis), que dice que los espectros de los anillos son exactamente los espacios topológicos X tal que:

1) X es la prueba de Kolmogorov (T_0).

2) X es cuasi-compacto.

3) El cuasi-compacto abrir subconjuntos de forma abierta.

4) X es cuasi-separados, es decir, cuasi-compacto abrir los subconjuntos cerrado bajo intersecciones finitas.

5) Todos los no-vacío irreductible cerrado subconjunto tiene un punto genérico.

Vamos a construir una irreductible espacio topológico X la satisfacción de 1-5 con un conjunto subyacente de 2^N U {x} tales que 2^N es cerrado en X y totalmente desconectado y X tiene genéricos punto x. Si X=Spec(Una), entonces la subvariedad cerrada de 2^N es una unión de infinidad de divisores de Weil. (X tiene dimensión 1)

La topología en 2^N será el producto de la topología, es decir, que de la 2-ádico enteros (o si se prefiere, el conjunto de Cantor). Abierto para esta topología son los cilindros, es decir, conjuntos, donde un número finito de componentes son fijos. Los cilindros están también cerradas. El espacio de la 2^N es Hausdorff compacto y totalmente desconectado, por lo tanto satisface 1-5.

Abierta una base para la topología de X = 2^N U {x} es dado por los conjuntos de la forma W U {x}, donde W es un cilindro o el conjunto vacío. El cuasi-compacto de subconjuntos abiertos de X son finitos sindicatos de tales conjuntos y X satisface 1-4. A ver 2-4 tenga en cuenta que si V es un subconjunto abierto de X , entonces

V es cuasi-compacto <=> La intersección de V y 2^N es clopen

Por último, la no-vacío irreductible de subconjuntos cerrados de X son el singleton conjuntos de 2^N y X en sí mismo y todos estos admitir genérico de puntos de X que satisface 5.

Observación: X parece estar estrechamente relacionado con el espectro de la Tate-álgebra Q_p<x>. El canónica de la topología en la cerrada puntos son exactamente los p-ádico enteros. Pero el Zariski topología es completamente diferente (P_p<x> es noetherian y regular de la dimensión 1).

Answer 2

Tomar X para ser Un^\infty y Z para ser la unión de la coordenada hyperplanes.

Edición: Jonathan me señaló que el infinito de la unión de hyperplanes en Un^\infty no es un cerrado subscheme: cualquier cerrada subscheme está contenida en la pre-imagen de un cerrado subscheme de Un^n para algún n. Así que me retiro de mi ejemplo.

Answer 3

Vamos a R la integral de cierre de $\mathbb{Z}$ en la clausura algebraica de $\mathbb{Q}$. A continuación, $\dim (R)=1$ y hay infinitamente muchos el primer ideales situado encima de un alojamiento ideal $p\mathbb{Z}$. Por lo tanto el conjunto cerrado $V(pR)$ tiene la propiedad requerida.