Inferior hemicontinuity de la intersección de menor hemicontinuous correspondencias

Question

Me han sacado de largo por este ejercicio (3.12(d)) de Stokey y de Lucas Métodos Recursivos en la Dinámica Económica. Agradecería mucho alguna pista.

Deje $\phi: X \to Y$ $\psi: X \to Y$ ser inferior hemicontinuous correspondencias (conjunto de valores de funciones), y supongo que para todos los $x \in X$

$$\Gamma(x)=\{y \in Y: y \in \phi(x) \cap \psi(x)\}\neq \emptyset$$

Mostrar que si $\phi$ $\psi$ son tanto convexo valorado, y si $\mathrm{int} \phi(x) \cap \mathrm{int} \psi(x) \neq \emptyset$, $\Gamma(x)$ es menor hemicontinuous en $x$.

[Una correspondencia $\Gamma: X \to Y$ dijo ser inferior hemicontinuous en $x \in X$ si $\Gamma(x)$ es no vacío y si, para cada $y \in \Gamma(x)$ y cada secuencia $x_n \to x$ existe $N \geq 1$ y una secuencia $\{y_n\}_{n=N}^\infty$ tal que $y_n \to y$$y_n \in \Gamma(x_n)$$n \geq N$.

Intuitivamente esto significa que la gráfica de $\Gamma(x)$ no puede de repente ampliar.]

EDIT: podemos suponer que $X$ $Y$ son subconjuntos de a $\mathbf{R}^n$.

Answer 1

Aquí es un poco esquema detallado de un argumento que creo que funciona. Como esta es una tarea problema, algunas de las piezas del argumento no necesita ser llenado.

Supongamos que estamos en $\mathbb{R}^m$. Fijo $y \in \Gamma(x)$, el hecho de que $\Gamma(x)$ tiene un vacío interior significa que no se $m$ $z_1, z_2, \ldots, z_m$ en el interior de $\Gamma(x)$ de manera tal que estos $m$ $y$ juntos son affinely independiente. Así que usted puede tomar suficientemente pequeñas bolas alrededor de cada uno de estos $m+1$ puntos tales que las bolas no se cruzan y que cualquier conjunto que consta de un punto de cada bola es también affinely independiente. Deje $z_0 = y$. Desde $\phi$ es menor hemicontinuous, para cada una de las $z_i$ existe una secuencia $z_{i_n} \to z_i$ e una $N_i$ tal que $z_{i_n} \in \phi(x_n)$ $z_{i_n}$ está dentro de esa pequeña bola de $z_i$ todos los $n \geq N_i$. Para cada una de las $n \geq \max \{N_i\}$, construcción del casco convexo $C_n$ de $\{z_{0_n}, z_{1_n}$, $z_{2_n}, \ldots, z_{i_n}\}$. Desde $\phi$ es convexa valores, $C_n$ es un subconjunto de a $\phi(x_n)$. Hacer lo mismo para cada una de las $n$ $\psi$ función para obtener los conjuntos de $D_n$. Deje $S_n = C_n \cap D_n$. La intersección de la convexas de los cascos de los dos conjuntos de $m+1$ affinely puntos independientes en $\mathbb{R}^m$ que son pares cerca el uno del otro debe ser no vacío. (Considere el apoyo a hyperplanes.) Deje $y_n$ ser el punto en $S_n$ más cercano a $y$. Desde los puntos extremos de $S_n$ convergen en los puntos extremos del casco convexo de $\{z_0, z_1, z_2, \ldots, z_m\}$, $S_n$ converge como un conjunto para el casco convexo de $\{z_0, z_1, z_2, \ldots, z_m\}$. Por lo tanto el punto en $S_n$ más cercano a $y$ $(= z_0)$ debe converger a $y$; es decir, $y_n \to y$.