Intuición de productos cruzados

Question

Conozco el producto cruzado entre un vector $a$ y un vector $b$ es sólo un vector cuya magnitud es el producto de la magnitud de $b$ veces la magnitud de la componente perpendicular de $a$ en relación con $b$ Esto surge en muchas aplicaciones como en el cálculo del par y la fuerza magnética.

La magnitud de estos vectores define la perpendicularidad $a$ y $b$ son ... Este hecho implica que, para que sea una medida de perpendicularidad, necesitamos la magnitud de $a \times b$ para ser $\lvert a \rvert \lvert b \rvert \sin(\theta)$ y eso debería ser una obviedad.

Resulta que medir la "perpendicularidad" es lo mismo que medir el área entre el paralelogramo formado por los dos vectores, a mayor perpendicularidad, mayor es el área que se forma.

Concluyendo, entiendo perfectamente el razonamiento de por qué la magnitud del producto cruzado es como es. Pero quiero seguir construyendo mi intuición sobre el producto cruzado y estoy un poco atascado con dos problemas:

1- ¿Cuál es la razón (aparte del hecho de que la fuerza magnética es un vector perpendicular a ambos $v$ y $b$ y que el vector normal a un plano es un vector perpendicular a dos vectores del plano, por ejemplo) que esta medida de perpendicularidad ( $\lvert a \rvert \lvert b \rvert \sin(\theta)$ ) se atribuyó a la magnitud de un vector? ¿Por qué no se definió el producto cruzado sólo como esta magnitud? ¿El vector ortogonal era sólo una forma conveniente de matar dos pájaros de un tiro (obtener tanto la medida de perpendicularidad como el vector normal al plano abarcado por $a$ y $b$ )?

2 - ¿Se intuye que los componentes del producto cruzado $a \times b$ son:
$ \langle(a_y b_z - a_z b_y), (a_z b_x - a_x b_z), (a_x b_y - a_y b_x) \rangle$ ? Digo intuición porque conozco la prueba de que el único vector (bueno uno de los dos posibles) que sostiene la magnitud $\lvert a \rvert \lvert b \rvert \sin(\theta)$ y es perpendicular a ambos $a$ y $b$ debe tener estos componentes.

Answer 1

Sólo una observación sobre el "problema 2":

Las coordenadas del producto cruzado $\bf{a}\times\bf{b}$ son los determinantes de las proyecciones de $\bf{a}$ y $\bf{b}$ en los planos de coordenadas. Así, el $x$ -coordinación de $\bf{a}\times\bf{b}$ es el área del paralelogramo que abarcan las proyecciones de $\bf{a}$ y $\bf{b}$ en el $yz$ -Avión. Espero que esto ayude un poco a tu intuición.

Answer 2

Permítanme que intente explicar la intuición que hay detrás de la definición del producto cruzado.

En primer lugar, hay que tener en cuenta que el producto cruzado es un constructo específico de tres dimensiones (técnicamente puede definirse también en siete dimensiones, pero ahí, esta construcción no es única). Veamos primero qué es lo especial de las tres dimensiones. La idea es definir un operador binario que toma dos vectores y produce otro. Dos vectores (no paralelos) definen un plano, y sólo en tres dimensiones, la dirección y orientación de un $2$ El plano D puede ser determinado de forma única por un vector perpendicular a él. Es decir, en $3$ D existe un mapa natural entre los planos que pasan por el origen (definidos por pares de vectores no paralelos) y los vectores hasta un múltiplo escalar. En dimensiones superiores, para cada $2$ D-plano, hay múltiples vectores no paralelos que son perpendiculares al plano, y para cada vector, hay múltiples planos que pasan por el origen que son perpendiculares a ese vector. Por lo tanto, no hay un mapeo natural (único hasta el escalador múltiple) entre los planos que pasan por el origen (léase par de vectores) y los vectores de dimensiones superiores.

Esta dualidad entre planos y vectores perpendiculares a ellos en $3$ D nos permite identificar objetos matemáticos más complicados con vectores (que sabemos que tienen buenas propiedades) y esa es la principal motivación para definir el producto cruzado. Hay dos ejemplos de este tipo de objetos que creo que motivan mejor la definición de producto cruzado (1) la superficie y (2) la rotación. El primero lo menciona el OP y es el tema de la primera pregunta, y el segundo es realmente la motivación detrás de la aplicación del producto cruzado en el campo magnético que de nuevo menciona el OP. Empecemos por la superficie:

Producto cruzado como elemento de superficie

Voy a motivar esto con el siguiente ejemplo. Supongamos que tenemos un fluido continuo que se mueve con algún campo de velocidad $\vec v(\vec r)$ en $3$ espacio D. Y supongamos que tenemos una superficie (posiblemente curva) y queremos saber cuánto fluido atraviesa esta superficie por unidad de tiempo. Obviamente, si el campo de velocidad es completamente paralelo a la superficie, el fluido no la atraviesa, por lo que no es difícil convencerse (hacer un dibujo) de que la densidad de flujo del fluido a través de la superficie viene dada por la componente de $\vec v$ perpendicular a la superficie. Así, el flujo total vendría dado por la integral de la componente perpendicular de $\vec v$ en la superficie.

Dado que la dirección de la superficie en todas partes puede ser determinada por su vector normal $\hat n$ podemos encontrar el flujo neto a través de la superficie como $$ \text{Flow rate}=\int_{\text{surface}}\vec v \cdot \hat n \,dS $$

Vamos a parametrizar esta superficie con dos parámetros $s$ y $t$ tal que todos los puntos de la superficie pueden escribirse como $\vec r=(x(s,t),y(s,t),z(s,t))$ . En cada punto con parámetros $(s,t)$ en la superficie, los dos vectores $\partial \vec r/\partial s$ y $\partial\vec r/\partial t$ son tangentes a la superficie. Entonces el vector normal a esta superficie es paralelo al producto cruzado de estos dos vectores. Afortunadamente para nosotros, el elemento de superficie $dS$ también es proporcional a la longitud del producto cruzado, por lo que podemos escribir la combinación $\hat n\, dS$ como $$ \hat n\,dS = \frac{\partial \vec r}{\partial s}\times \frac{\partial \vec r}{\partial t} dr\,ds. $$ Esto nos permite reducir la integral de superficie a una integral doble ordinaria en las coordenadas $s$ y $t$ : $$ \text{Flow rate}=\int_{\text{surface}}\vec v \cdot \hat n \,dS = \int\int\vec v(s,t) \cdot \left(\frac{\partial \vec r}{\partial s}\times \frac{\partial \vec r}{\partial t} \right)\,ds\,dt. $$ Lo que facilitó este problema es que el elemento de área que está definido por el par de vectores $(\partial \vec r/\partial s,\, \partial\vec r/\partial t)$ puede ser identificado por un vector tal que cuando necesitemos encontrar el componente de $\vec v$ normal a la superficie, simplemente tomamos el producto punto de $\vec v$ por el elemento de área. Si no tuviéramos el lujo de identificar el elemento de área como un único vector, tendríamos que encontrar manualmente el componente de $\vec v$ que es perpendicular a los dos vectores que definen la superficie.

Tenga en cuenta que este elemento del área es el prometido objeto-matemático-más-complicado que sólo en $3$ D puede ser identificado por un vector. En dimensiones superiores, esta bestia se conoce como producto de cuña de los dos vectores que la definen y no puede reducirse a un solo vector.

Producto cruzado como índice de rotación

Tendemos a pensar en rotaciones adecuadas en $3$ D en términos de un eje de rotación y un ángulo. El concepto de eje de rotación no se generaliza a dimensiones superiores. Lo que sí se generaliza es el plano perpendicular a él. Este plano perpendicular al eje de rotación es invariante (se mapea a sí mismo) bajo la rotación. Las rotaciones propias de dimensiones superiores pueden identificarse en términos del conjunto de sus planos invariantes y de los ángulos de rotación asociados a cada plano. Es la dualidad entre planos y ejes (mapa entre un par de vectores y un único vector perpendicular a ellos) lo que nos permite hablar de eje de rotación en $3$ D.

Imagina que giras un vector $\vec v$ a razón de $\omega$ radianes por segundo alrededor de un eje de rotación definido por el vector $\hat u$ perpendicular a algún plano $P$ . Desde $P$ es el plano de rotación, si descomponemos $\vec v$ a sus componentes $\vec v_\perp$ y $\vec v_{||}$ perpendicular y paralela al plano $P$ , $\vec v_\perp$ no cambiará bajo la rotación, mientras que $\vec v_{||}$ se queda en $P$ y gira a la velocidad $\omega$ . Así que la tasa de cambio de $\vec v$ viene dada por la tasa de cambio de $\vec v_{||}$ . Desde $\vec v_{||}$ está ahora en un $2$ D, podemos reescribir su tasa de cambio en coordenadas polares $$ \frac{d\vec v}{dt} = \frac{d\vec v_{||}}{dt} = \frac{d\left|\vec v_{||}\right|}{dt}\hat r+\left|\vec v_{||}\right| \omega \hat\theta = \left|\vec v_{||}\right| \omega \hat\theta $$ Aquí he utilizado $d\vec r/dt = \dot r\hat r+r\dot\theta\hat\theta$ (ver aquí ) y el hecho de que la rotación no cambia la longitud de un vector. Sin utilizar el eje de rotación $\hat u$ sería difícil encontrar ambos $\left|\vec v_{||}\right|$ y la dirección de $\hat\theta$ (que está en el plano $P$ y perpendicular a $\vec v_{||}$ . Pero tenga en cuenta que $\hat\theta$ está en el plano $P$ es decir, también es perpendicular a $\vec v_\perp$ lo que la hace perpendicular a $\vec v$ . Además, es perpendicular a $\hat u$ desde $\hat u$ es perpendicular a $P$ . Y como sabemos que algo que es perpendicular a dos vectores es paralelo a su producto cruzado, $\hat \theta$ está en la dirección de $\hat u\times \vec v$ . También $\left|\vec v_{||}\right|$ es $\left|\vec v\right| \sin(\phi)$ donde $\phi$ es el ángulo entre $\vec v$ y $\hat u$ por lo que podemos escribir la tasa de cambio de $\vec v$ como $$ \frac{d\vec v}{dt} =\omega\, \hat u\times \vec v $$ De nuevo, ya que tenemos una dirección $\hat u$ y un escalador $\omega$ para la rotación, podemos definir un vector $\vec \omega = \omega \hat u$ como vector de rotación (realmente vector de velocidad angular) y digamos $$ \frac{d\vec v}{dt} =\vec \omega\times \vec v. $$ Así que si identificamos las rotaciones mediante vectores que representan su eje de rotación y su tasa de rotación (tasa de cambio de ángulo), la tasa de cambio de cualquier vector $\vec v$ bajo dicha rotación viene dada por el producto cruzado de estos dos vectores. En otras palabras, el producto cruzado es el llamado generador infinitesimal de rotaciones .

En este punto, no debería sorprenderle que el vector $ \vec \omega$ es el producto cruzado de dos vectores en el plano $P$ . Se puede tomar cualquier vector unitario en $P$ y mira su producto cruzado con su tasa de cambio y obtendrás $\vec\omega$ . Lo dejo como ejercicio.

El campo magnético como eje de rotación

El campo eléctrico es un concepto muy intuitivo en comparación con el campo magnético. La magnitud del campo eléctrico es la fuerza por unidad de carga, y su dirección es la dirección de esa fuerza. Por tanto, el campo eléctrico es simplemente una fuerza por unidad de carga. Por otro lado, el campo magnético es un vector que si se toma su producto cruzado con $\vec v$ (la velocidad de una carga de prueba en movimiento) te daría una fuerza por unidad de carga. No parece apuntar a una dirección físicamente significativa en el espacio. Además, si piensas en cómo se crea, se crea a través de otra carga en movimiento (esto no es siempre estrictamente cierto, pero una carga en movimiento crea un campo magnético). El campo magnético creado por una carga en movimiento con velocidad $\vec u$ en la posición $\vec r$ es proporcional a $\vec r \times \vec u$ . Eso da una fuerza magnética sobre otra carga de prueba en movimiento que está en la dirección de $\vec v \times (\vec r \times \vec u)$ que vuelve a estar en el plano definido por $\vec r$ y $\vec u$ .

Parece que la dirección del campo magnético que apunta fuera del plano definido por $\vec r$ y $\vec u$ donde ocurre toda la acción no apunta realmente a una dirección físicamente significativa en el espacio. Es una mera conveniencia matemática definirlo en esa dirección. Pero te animo a que vuelvas a leer la sección anterior sobre la rotación para ver las similitudes.

Una carga en movimiento en la posición $\vec r$ con velocidad $\vec u$ crea una fuerza de rotación en el origen que intenta girar el vector velocidad de cualquier carga en el origen en el $\vec r$ - $\vec u$ plano. Pero como en $3$ D podemos identificar las rotaciones con su eje en lugar de con su plano, lo que nos encanta hacer porque los vectores son objetos matemáticos más simples y con reglas conocidas que los planos, definimos esta fuerza en términos de un vector $\vec B$ que apunta fuera de este plano. Es el campo magnético. Y como la tasa de rotación está dada por el producto cruzado del vector de rotación por el vector, la tasa de cambio de la velocidad $\vec v$ de una carga de prueba en el origen viene dada por $\vec B\times \vec v$ .

Ahora permítanme tratar de responder a las preguntas de la OP

1) ¿Por qué no se definió el producto cruzado sólo como esta magnitud? ¿El vector ortogonal era sólo una forma conveniente de matar dos pájaros de un tiro (obtener tanto la medida de perpendicularidad como el vector normal al plano abarcado por $a$ y $b$ )?

Como ya mencioné, el producto cruzado, ya sea que represente el elemento área o la rotación, es una propiedad de dos vectores, y necesitas la dirección del plano definido por ellos para tener una descripción completa del objeto matemático que estás describiendo. En el caso del área, los necesitamos para encontrar la componente de la velocidad perpendicular a la superficie, y en el caso de la rotación, obviamente necesitamos conocer el eje de rotación. Es más fácil trabajar con un vector que con los dos vectores originales porque las reglas del álgebra vectorial facilitan el cálculo de cosas en términos de coordenadas, como el producto punto en el cálculo del área, o encontrar la tasa de cambio del vector de rotación en lugar de utilizar una matriz de rotación completa.

2) ¿Se intuye que los componentes del producto cruzado $a \times b$ son:
$ \langle(a_y b_z - a_z b_y), (a_z b_x - a_x b_z), (a_x b_y - a_y b_x) \rangle$ ?

Pensemos en $a\times b$ como una rotación de $b$ por $a$ . Como el producto cruzado es lineal, lo separamos como la suma de tres rotaciones independientes de $b$ alrededor de los componentes de $a$ . Veamos el componente $a_z$ . Se trata de una rotación alrededor de $z$ eje. La tasa de cambio de $b$ debido a la rotación alrededor de $z$ sólo se ve afectado por su proyección en $x-y$ plano, es decir, sólo $b_x$ y $b_y$ componentes. Girando la proyección de $b$ en $x$ alrededor de $z$ crea componentes a lo largo de $y$ dirección mientras gira la proyección de $b$ a lo largo de $y$ alrededor de z crea componentes en $-x$ dirección. Así que la tasa de cambio de $b$ debido a la rotación a la velocidad $a_z$ alrededor de $z$ viene dada por $$ (-a_z\,b_y,\, a_z\, b_x,\,0). $$ Repite la misma lógica para la rotación alrededor de $x$ y $y$ con tarifas $a_x$ y $a_y$ .

Answer 3

La respuesta de Matt L. es la que yo daría, pero podría ser más elaborada.

En primer lugar, hay que acostumbrarse al hecho de que un determinante n-D es el área con signo de un paralelepípedo n-D. Nos ocupamos de los productos cruzados en 3D. Esto implica determinantes en 2-D -- áreas de paralelogramos. Aquí está un buen video sobre esto.

Ahora, ¿qué significado tienen las proyecciones de las áreas formadas por dos vectores sobre planos de coordenadas?

Antes de preocuparse por el producto cruzado o las áreas formadas por dos vectores motivemos la idea de proyectar el área pensando en las cimas:

(ignora la sombra en esta foto. La fuente de luz no es recta verticalmente hacia abajo, por lo que no encaja en la analogía)

La razón por la que nos viene a la mente la parte superior es porque tiene todo lo que necesitamos:

1. área. El área de la parte "circular" de la parte superior. No nos importa realmente cuál es el área y, desde luego, no nos importa que implique $\pi$ . Lo único que nos importa es que es una cantidad de área que vive en su propio plano.
2. un "vector" ortogonal a esa zona. La parte del mango que sobresale del círculo es ortogonal al plano en el que se encuentra el círculo.

Digamos que empezamos con la parte superior vertical. Entonces el círculo se encuentra en el $x,y$ plano, y el mango apunta a lo largo del $z$ eje.

Digamos que el área del círculo de la parte superior es $A$ . Si hacemos brillar una linterna idealizada directamente sobre la parte superior, el área de la sombra en la mesa debajo de la parte superior debe ser $A$ ¿No es así? Los rayos de luz brillan a lo largo del $z$ eje, y golpeando la mesa (plana, paralela a $x,y$ plano), excepto los rayos bloqueados por el círculo de la parte superior.

Entonces, ¿qué pasa si inclinamos la parte superior en una dirección arbitraria? Su área física $A$ no cambiará, pero el área de la sombra ahora disminuirá, ¿verdad? Llamemos al área de su sombra después de la inclinación $S_{tilted}$ .

La idea clave es que $\frac{S_{tilted}}{A} = cos(\theta)$ , donde $\theta$ es el ángulo entre la superficie de la tapa y el $x, y$ plano, que es también el ángulo entre el mango de la tapa y el $z$ eje .

Es decir, al inclinar nuestra parte superior, el mango forma un ángulo de ensanchamiento con el $z$ eje, y como el asa es rígidamente ortogonal al círculo, el círculo (el plano del círculo) está formando simultáneamente ese mismo ángulo con el $x,y$ avión.

Lo mismo ocurre con los demás planos de coordenadas. Podríamos cambiar el nombre de $S_{tilted}$ a $S_{table}$ y, a continuación, medir también $S_{western-wall}$ y $S_{southern-wall}$ .

$S_{western-wall}$ es el área de la sombra que obtenemos al iluminar con la linterna "hacia abajo" el $x$ eje y haciendo una sombra en nuestro muro occidental, el $y, z$ plano. De la misma manera, para $S_{southern-wall}$ .

Podemos utilizar sólo estas zonas de sombra y sin conocer el asa de la tapa para producir un vector que apunte en la misma dirección que el asa de la tapa. Esto será análogo a utilizar las proyecciones del área formada por dos vectores para obtener un tercer vector ortogonal a ambos, es decir, el producto cruzado.

Así que si ponemos estas medidas de sombra en un vector, podríamos tener

$$ \begin{align} \left( \begin{matrix} S_{western-wall} \\ S_{southern-wall} \\ S_{table} \end{matrix} \right) & = A \cdot \left( \begin{matrix} \text{ cosine of angle between top and y, z plane}\\ \text{ cosine of angle between top and z, x plane}\\ \text{ cosine of angle between top and x, y plane}\\ \end{matrix} \right) \\ \\ & = A \cdot \left( \begin{matrix} \text{ cosine of angle between handle and x axis}\\ \text{ cosine of angle between handle and y axis}\\ \text{ cosine of angle between handle and z axis}\\ \end{matrix} \right) \\ \\ & = A \cdot \text{direction of handle} \end{align} $$

específicamente, $A$ veces a vector unitario señalando en el dirección de la manilla . Porque conocer el ángulo formado entre la manilla y cada uno de los ejes nos indica la dirección de la manilla.

Así que todo lo que hicimos fue utilizar una linterna para medir las diferentes sombras (proyecciones), y esto nos dio un vector que apunta en la dirección del mango, con la longitud $A$ ( aproximadamente el "producto cruzado", lo que realmente queríamos). Obsérvese que nunca medimos $A$ directamente, y nunca medimos nada sobre el mango directamente. Sólo utilizamos el conocimiento de que el asa es ortogonal a la superficie de la tapa.

Las cosas que quedan por resolver

1. ¿Qué es exactamente el ángulo "entre dos planos"? ¿Por qué se sigue aplicando aquí el coseno/trig como se hace con los ángulos entre líneas?
2. Todo esto se hizo con el área de un círculo. ¿Qué pasa con el área de un paralelogramo formado con nuestros dos vectores de los que queremos un producto cruzado?
3. ¿Cómo la fórmula de un producto cruzado nos da las áreas de las sombras (proyecciones)?

Imagina una puerta abierta. La puerta forma un ángulo con la pared / el portal. Imagine que la puerta y la pared están pintadas con finas rayas horizontales. Cada franja "forma su propio ángulo" entre la puerta y la pared cuando se abre la puerta. Si está de cara a la pared cuando se abre la puerta, los segmentos de línea de la puerta se "escalarán visualmente" por un factor de $cos(\theta)$ . Cuando la puerta está completamente abierta a 90 grados, no se ven los segmentos de línea en la puerta en absoluto ( $cos(90) = 0$ ).

Si se traza un círculo en la puerta, el área de ese círculo se compone de muchas rayas horizontales finas. Cada franja se escala en la misma cantidad -- $cos(\theta)$ . Por lo tanto, toda el área del círculo se escala por este factor.

Pero en realidad no importa que hayas dibujado un círculo, ¿verdad? Esto se aplicaría a cualquier dibujo. Podría ser un dibujo de una forma de estrella, o podría ser un dibujo de un paralelogramo formado con dos vectores. Toda el área en el plano de la puerta se escala por el mismo factor al ver la puerta abierta.

Dos planos cualesquiera equivalen a una pared y una puerta. Sólo que pueden no estar alineados con la gravedad. La línea de intersección entre los dos planos es donde están las bisagras de la puerta y la "grieta" de la misma.

También podría pensar en empezar con la parte superior en su $x, y$ posición plana, agarrando la punta del mango e inclinando la parte superior. Al inclinar la parte superior, la punta del mango traza una sección de un círculo en el aire entre su $z$ posición alineada de los ejes, y su nueva posición al inclinarse. Podrías pintar la superficie de la tapa con muchas líneas finas paralelas a ese círculo de inclinación. Cada una de estas líneas se aleja de su posición original dentro del $x, y$ plano con el mismo ángulo con el que se está inclinando el mango desde el $z$ eje.

Eso aborda más o menos la 1 y la 2, lo que deja la 3.

Si tienes un paralelogramo formado con dos vectores $v$ y $w$ ¿Cómo se consigue su proyección en el $x, y$ ¿Avión? Se borra el $z$ coordenadas de $v$ y $w$ (ponerlos a 0). Ahora tienes dos vectores bidimensionales en el $x, y$ avión. Si te fijas bien en la fórmula del producto cruzado, verás que estás utilizando el determinante de estos vectores bidimensionales para obtener la tercera coordenada del producto cruzado. Esa es el área de la sombra en la mesa, $S_{table}$ .

Esto no ha cubierto el asunto de la orientación en absoluto. Eso podría tratarse en otra parte. Una pequeña pista sería... fíjese que me he referido al $z, x$ avión como el del "muro del sur". ¿Por qué no el $x, z$ ¿plano? En cierto sentido, $x, z$ está fuera de servicio.

Answer 4

Para 1; La razón por la que el producto cruzado no es sólo la magnitud, es que simplemente queremos que también sea un vector con su dirección perpendicular a los otros 2 vectores del plano, etc. Ahora, ¿por qué? Pues porque en el ejemplo sobre la fuerza magnética, encontramos que (a partir de observaciones/descubrimientos/ecuaciones, etc...) la dirección de la fuerza es perpendicular a v y B. Pero al mismo tiempo, la magnitud de esta fuerza es también V B Sin(theta).

Así que para MODELAR este fenómeno, definimos la operación de producto cruzado para que sea lo que es, al igual que el producto punto y el trabajo, pero en el caso del trabajo, es inútil pensar en el trabajo como un vector, porque es sólo una cantidad que se conserva y eso es todo lo que nos importa. :) Espero que tenga sentido.

Ah, y, sobre las componentes, intenté derivar la fórmula para ellas basándome en el criterio de que el vector debe ser perp. a los otros 2 y tiene esta magnitud etc, me acerqué bastante y estoy trabajando en ello. De hecho estoy pensando en publicar una pregunta sobre esto.