Lo que usted está pidiendo es la teoría de la hiperbólico de 2 dimensiones orbifolds. Es una gran teoría. Si no se agrega hipótesis adicionales, que se convierte en algo razonable esperar que una buena descripción de la teoría. Incluso si se añade suficiente hipótesis de domar a la pregunta, todavía se requiere una gran cantidad de las matemáticas para describir la clasificación.
Me deja domesticar a la pregunta un poco por la adición de algunas hipótesis y poner algunas restricciones en la clasificación, sólo con el fin de darle una idea de la gran imagen.
En primer lugar, voy a añadir la hipótesis de que el grupo $\Gamma$ es finitely generado. A continuación, voy a añadir una más fuerte hipótesis de co-compacidad, lo que significa $\Gamma$ tiene un pacto fundamental de dominio. Co-área finita también es una buena hipótesis, como dije en mi comentario, pero es más complicado de describir correctamente, aunque no es realmente más profundo matemáticamente. Así que me estoy enfocando en discretos, co-grupos compactos $\Gamma < \text{Isom}(\mathbb{H}^2)$ (que, como consecuencia de ello, los pasos a cualquier pregunta acerca de análogos de Friso de los grupos).
El nivel básico es la clasificación hasta el isomorfismo: el grupo $\Gamma$ está determinada por su coeficiente de orbifold $M_\Gamma = \text{H}^2 / \Gamma$, en el sentido de que $\Gamma,\Gamma' < \text{Isom}(\mathbb{H}^2)$ son isomorfos si y sólo si su cociente hiperbólico orbifolds $M_\Gamma,M_{\Gamma'}$ "orbifold equivalente", lo que significa que hay un homeomorphism $M_\Gamma \to M_{\Gamma'}$ que conserva la orbifold estructura.
En este nivel básico, la clasificación en el caso hiperbólico es idéntico (en teoría) a la distancia Euclídea y esférica de los casos: el de los grupos de $\Gamma$ con la anterior hipótesis de atención clasificados por cerrado hiperbólico orbifolds; el 17 de papel tapiz grupos están clasificados hasta el isomorfismo por el 17 cerrado Euclidiana orbifolds hasta orbifold de equivalencia; y hay una similar esférica de la clasificación.
Hay infinitamente muchos distintas cerrado hiperbólico 2-orbifolds $\mathcal{O}$ hasta equivalencia, y por lo tanto infinitamente muchos grupos $\Gamma$ hasta isomorfismo. Es posible completamente lista de todas cerradas hiperbólico 2-orbifolds $\mathcal{O}$ manteniendo un seguimiento de ciertos invariantes:
- el tipo topológico de la superficie de la $S$ subyacentes $\mathcal{O}$ (topológica de la característica de Euler $\chi(S)$, orientability de $S$, el número de componentes del borde de $S$);
- los números de cono de puntos de todos los ángulos en el interior de $S$;
- los ciclos de diedro puntos alrededor de cada límite componente de $S$ (mantener el seguimiento de los ángulos de la diedro puntos en el ciclo, y tomando el cuidado apropiado de la orientación de los componentes del borde dependiendo de si $S$ sí es orientable).
Por supuesto, uno debe también asegúrese de desechar de esta lista el esférico, Euclidiana, y mala 2-orbifolds, pero que se puede hacer mediante el signo de la orbifold característica de Euler $\chi(\mathcal{O})$, la cual puede ser calculada mediante una fórmula utilizando las constantes mencionadas anteriormente, con el siguiente resultado:
- esférica o malo es equivalente a $\chi(\mathcal{O})>0$;
- Euclídeo equivale a $\chi(\mathcal{O})=0$;
- hiperbólico es equivalente a $\chi(\mathcal{O})<0$.
El enlace que aparece en la primera línea de la respuesta da una lista completa de los Euclidiana, esférica, y lo malo de los casos; todo lo demás es hiperbólica.
Ustedes han pedido referencias. Una referencia es cualquier cosa acerca de Conway orbifold la notación. También puede buscar cualquier referencia en Fuchsian grupos, aunque esto se aplica sólo a los casos en que $\Gamma$ preserva orientación (en particular, los reflejos). Además, la literatura sobre Fuchsian grupos tiende a centrarse aún más restrictly en el caso de que los grupos no tienen finito de elementos de pedido (sin rotaciones), pero todavía se pueden encontrar algunas referencias sin esa restricción.
