Por qué la plaza el plazo $X - \mu$ en la definición de la varianza?

Question

¿Por qué es la varianza $\operatorname{Var}(X)$ de una variable aleatoria $X$ definida para ser $\operatorname{E}[(X-\mu)^2]$? Mi profesor dijo que desea que la varianza sea positiva, pero ¿por qué no ir a por $\operatorname{E}[|X-\mu|]$, entonces? (Empezando en este tema, así que tal vez una pregunta estúpida).

Answer 1

$\newcommand{\v}{\operatorname{var}}$Porque si $X_1,\ldots,X_n$ son independientes, a continuación, $$\v(X_1+\cdots+X_n) = \v(X_1) + \cdots + \v(X_n). \tag 1$$

Nada de eso funciona para la media de la desviación absoluta.

Observar que esto hace posible: Lanzar una moneda no trucada $n$ veces y preguntar ¿cuántas veces usted consigue cabezas. El número esperado es$n/2,$, pero ¿cuál es la varianza? Es $n/4.$ Sencillo. Pero ¿cuál es la media de la desviación absoluta? Con una moneda, esta se conoce la respuesta, pero es complicado, y con una visión sesgada de la moneda o con alguna otra distribución no? Así que ¿cuál es la probabilidad de que el número de cabezas es en cierto rango? $$\lim_{n\to\infty} \Pr\left( \frac{(\text{número de cabezas}) - n/2}{\sqrt{n/4\,\,}} \en \right) = \frac 1 {\sqrt{2\pi}} \int_A e^{-x^2/2} \,dx.$$ Sin esto, (un caso especial de) el teorema del límite central, el problema sería mucho más difícil y tal vez intratable, y necesitamos saber la varianza del número de cabezas para hacer esto. Tener una medida de la dispersión como la varianza que satisface la línea $(1)$ anterior hace que esto sea posible.

El caso especial del teorema central del límite que se aplica a las monedas justas fue descubierto en la primera mitad del siglo 18 por Abraham de Moivre, excepto que él se calcula la normalización de la constante numérica sin primero saber que es $1/\sqrt{2\pi}.$ James Stirling descubrieron que la ha comunicado a de Moivre, que creo que luego incluyó en una edición posterior de su libro, La Doctrina de Posibilidades.

(Si no me equivoco, la media de la desviación absoluta del número de cabezas en $n$ independiente lanzamientos de una moneda es la misma para $n$ $n+1,$ si $n$ tiene una cierta paridad, ya sea par o impar, pero no recuerdo cual.)

Answer 2

Variaciones funciona bastante bien con las sumas, como ya mentoined en Michael Hardy respuesta.

Hay más que se puede decir: la varianza es (*) la forma cuadrática asociada con un producto interior, es decir, la covarianza , que es una medida de cómo las diferentes variables varían en relación a cada uno de los otros.

Es decir, la covarianza $\operatorname{Cov}(X,Y) := E((X-EX)(Y-EY))$ es algo así como el producto escalar de a $a\cdot b$ de dos vectores $a$ $b$ y, a continuación, la varianza $\operatorname{Var}(X) = \operatorname{Cov}(X,X)$ es algo así como la longitud de un vector $a$ el cuadrado de $\|a\|^2$. Tenga en cuenta que para los vectores tenemos $\|a\cdot a\| = \|a\|^2$.

Ahora, considere el "teorema de pitágoras". En la geometría de los casos, contamos $\|a+b\|^2 = \|a\|^2 + \|b\|^2$ si $a$ es ortogonal a $b$, es decir, si $a\cdot b = 0$. En consecuencia, para las variables que hemos $\operatorname{Var}(X+Y) = \operatorname{Var}(X) + \operatorname{Var}(Y)$ si $X$ $Y$ son uncorrolated , es decir, si $\operatorname{Cov}(X,Y) = 0$ (tenga en cuenta que las variables independientes se uncorrolated, pero no viceversa).

Esto motiva el por qué de la varianza debe ser "cuadrática". La longitud de esta analogía, frente a la plaza de la longitud (la varianza), se llama desviación estándar $\operatorname{sd}(X) = \sqrt{\operatorname{Var}(X)}$.

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(*) ...si podemos identificar las variables que son iguales casi seguramente.