Escribir $p_n$ $n$th el primer número, y deje $K$ ser el más grande de $K$$p_K^{p_K}<x$, y deje $L=\log x$.
A continuación, cada elemento de a $s\in\cal S, s<x$ satisface
$$
\log s = \sum_{i=1}^K a_i p_i \log p_i
$$
para algunos de los números enteros no negativos $a_i$. Considere la posibilidad de $\bf{z}\in \mathbb R^K$ y el simplex
$$
0 \le \sum_{i=1}^K (p_i \log p_i) z_i < L
$$
a continuación, hay una correspondencia uno a uno entre el $s<x$ y el enrejado de los puntos de $(z_1,\ldots,z_K)=(a_1,\ldots,a_K)$ en este polytope.
Para $J<K$ $p_J \log p_J \ll L$ podemos aproximar el número de opciones de $(a_1,\ldots,a_J)$ por el volumen
$$
A = \frac{1}{J!} \prod_{i=1}^J \frac{L}{p_i\log p_i}
$$
(En el pleno de la dimensionalidad esto no funciona debido a que todos los puntos están en la superficie y el volumen tiende a cero.) Esto da una estimación del tamaño del subconjunto de puntos permitidos con $a_{J+1}=\ldots=a_K=0$.
$$
\begin{align}
\log A & = J\log L - \log J! - \vartheta(p_J) - T(p_J) \\
& \approx J\left(\log L -2\log J - 2\log\log J +2 \right) \\
& = J\log \frac{e^2 L}{(J\log J)^2}
\end{align}
$$
donde $\vartheta$ es de Chebyshev de la función y la
$$
\log N! = N\log N - N + o(N) \\
\vartheta(p_N) = N\log N + N\log\log N - N + o(N) \\
T(x) = \sum_{p\le x} \log\log p \\
T(p_N) \sim N\log\log N
$$
(No estoy 100% seguro de la asintótica para $T(p_N)$; voy a tratar de encontrar la forma correcta, pero por favor, hágamelo saber si esto es un error.)
La elección de $J \approx 2\sqrt{L} (\log L)^{-1}$ tenemos
$$
Un \approx \exp(2J) \approx \exp \left(\frac{4\sqrt{\log x}}{\log\log x}\right)
$$
Por un superior aproximación podemos dejar el pasado $K-J$ dimensiones del ser sin restricciones para obtener
$$
\begin{align}
B & = A \prod_{i=J+1}^K \frac{L}{p_i\log p_i} \\
\log B & = K\log L - \log J! - \vartheta(p_K) - T(p_K)
\end{align}
$$
Puede haber alguna mejora posible para una elección adecuada de $J$, pero para una primera estimación es suficiente para dejar a $J=0$. Entonces
$$
\begin{align}
\log B & \approx K \left(\log L - \log K - 2\log \log K + 1\right) \\
& \approx K \log \frac{e L}{K \log^2 K}
\end{align}
$$
Desde el primer número y teorema de la definición de $K$ podemos encontrar $K \approx L (\log L-\log\log L)^{-2}$ y
$$
B \approx \exp(K) \approx \exp\left(\frac{\log x}{(\log\log x-\log\log\log x)^2}\right)
$$
Estos $A,B$ sólo dar aproximaciones a las dimensiones de un subconjunto y superconjunto, pero creo que este argumento podría ser refinado para que se conviertan en verdaderos límites.
