Gráficamente y numéricamente es obvio, pero estoy en busca de un razonamiento analítico. Maximizar el lado izquierdo no produce una expresión analítica para la máxima. También he probado algunos conocidos de los límites para la $\log$, pero en todas ellas había un "rebasamiento".
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Poner $y=\frac{1}{\sqrt{x}}$ conseguir $(y+\frac{1}{y})\log 2-2\log y \geq 0, y>1$. La diferenciación de da $\frac{1}{y}((y-\frac{1}{y})\log 2 -2)$, por lo que tenemos puntos críticos al $(y-\frac{1}{y})\log 2=2$. La solución de la ecuación cuadrática en $y$ y tomando lo positivo de la raíz da $y=\frac{1+\sqrt{(\log 2)^2+1}}{\log 2}$. Basta comprobar la desigualdad para este valor y los puntos finales. ( $y \to 1$ $y \to +\infty$).
Poner $y=1$ conseguir $2\log 2-2 \log(1)$, lo que claramente es no negativo. Si la desigualdad se cumple para $y=\frac{1+\sqrt{(\log 2)^2+1}}{\log 2}$, ya que el gradiente $\frac{1}{y}((y-\frac{1}{y})\log 2 -2)$ es claramente no-negativo cuando se $y>\frac{1+\sqrt{(\log 2)^2+1}}{\log 2}$, la desigualdad tiene como $y \to +\infty$.
Finalmente se demuestra que la desigualdad al $y=\frac{1+\sqrt{(\log 2)^2+1}}{\log 2}$. La reescritura de la desigualdad como $2y\log 2 \geq (y-\frac{1}{y})\log 2+2\log y$, y el sustituto en el valor a obtener $2(1+\sqrt{(\log 2)^2+1}) \geq 2+2\log(\frac{1+\sqrt{(\log 2)^2+1}}{\log 2})$. Poner $z=\sqrt{(\log 2)^2+1}$, con lo que conseguimos $z+\log(\log 2) \geq \log (1+z)$, o lo que es equivalente, $e^z\log 2 \geq 1+z$. La función de $e^x\log 2-(1+x)$ es una función creciente de $x \geq 1$ (El gradiente es $e^x\log 2-1 \geq e\log 2-1>0$), y $z>\sqrt{1+0.69^2}>1.2$, por lo que es suficiente para mostrar que $e^{1.2}\log 2 \geq 2.2$. Tenga en cuenta que$\log 2>0.69$$e^{1.2}>1+1.2+\frac{1.2^2}{2}+\frac{1.2^3}{6}=3.208>3.2$, e $3.2(0.69)=2.208>2.2$, por lo que estamos por hacer.
zigarrre
Puntos
6
cuando usted toma la derivada obtendrá este tipo de expresión
$$x^{-\frac{\sqrt{x}}{1+x}} \left(-\frac{1}{\sqrt{x} (1+x)}+\left(\frac{\sqrt{x}}{(1+x)^2}-\frac{1}{2 \sqrt{x} (1+x)}\right) \text{Log}[x]\right)$$
Entonces la solución para que
$$\left(-\frac{1}{\sqrt{x} (1+x)}+\left(\frac{\sqrt{x}}{(1+x)^2}-\frac{1}{2 \sqrt{x} (1+x)}\right) \text{Log}[x]\right)=0$$
le dará algunas raíces. uno de ellos es$0.0907763$, y el otro es $11.0161$. Si se verifica cuidadosamente, a continuación, se puede observar que la raíz de $0.0907763$ rendimientos, el máximo que es de $1.94011$.
Bueno más analítica:
A partir de la ecuación anterior obtenemos:
$\log(x)=\frac{\frac{1}{\sqrt{x} (1+x)}}{\left(\frac{\sqrt{x}}{(1+x)^2}-\frac{1}{2 \sqrt{x} (1+x)}\right)}$
Si insertamos esta en
$$\frac{-\sqrt{x}}{1+x}\log(x)$$
y hacer algo de álgebra tenemos
$$-2y\frac{e^y}{1+e^{2y}}$$
donde $-1<y<\infty$ y originalmente $y=\frac{1+x}{x-1}$
Ahora es fácil ver que esta función tiene una maxima en$-1$, que es menos de $\log 2$
