En general, si tenemos $$\sqrt{a_0+\sqrt{a_1+\sqrt{a_2....}}}$$ Hay maneras fáciles de encontrar si converge, como el infinito de los productos y de la serie? Hay maneras para convertir la cuestión de la convergencia de la radical a uno acerca de la serie, como el logaritmo hace para los productos?
Respuesta
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De acuerdo a la Herschfelds teorema de Convergencia, la secuencia converge iff $a_n^{2^{-n}}$ converge, si $a_i>0 $. Podemos demostrar esto al señalar que, $$\sqrt{a_0+\sqrt{a_1+..\sqrt{a_n}}}>{a_n^{2^{-n}}}$$ y también si $a_n<M^{2^{n}}$ a continuación, $$\sqrt{a_0+\sqrt{a_1+..\sqrt{a_n}}}<\sqrt{M}\sqrt{1+\sqrt{1}..}$ $ , que es conocido a converger, y la secuencia es no decreciente, mostrando que converge. Muchas gracias a muzzlator para señalar el teorema.
