¿Es isomorfo a $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ $\mathbb{Q}$?

Question

¿Es isomorfo a $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ $\mathbb{Q}$?

Mi respuesta es no. ¿El primer teorema de isomorfismo tiene algo que ver con esto?

Cualquier sugerencias apreciadas, gracias.

Answer 1

Sugerencia: ¿Cuál es el orden de $\frac12+\Bbb Z$ $\Bbb Q/\Bbb Z$? ¿Coincide con cualquier cosa en $\Bbb Q$?

Answer 2

Sólo por diversión, un argumento general:

Observe que tanto $\mathbb{Q} / \mathbb{Z}$ $\mathbb{Q}$ son divisibles. Pero cualquier divisible grupo puede ser escrito como la suma directa de subgrupos isomorfo a $\mathbb{Q}$ o $\mathbb{Z}[p^{\infty}]$ para algunos prime $p$; a continuación, sólo tienes que comparar los factores.

Para $\mathbb{Q}$, no hay nada que hacer.

Deje $A_p$ ser el subgrupo de $\mathbb{Q}/ \mathbb{Z}$ compuesto de elementos de orden una potencia de $p$. A continuación,$\mathbb{Q}/ \mathbb{Z} = \bigoplus\limits_{p \in \mathbb{P}} A_p$. Pero claramente, $A_p= \left\{ \frac{n}{p^k} \mid n \in \mathbb{Z},k \in \mathbb{N} \right\}$ es isomorfo a $\mathbb{Z}[p^{\infty}]$ (tome $n/p^k \mapsto \exp( i2n\pi/p^k )$ para el isomorfismo), por lo $\mathbb{Q}/\mathbb{Z} \simeq \bigoplus\limits_{p \in \mathbb{P}} \mathbb{Z}[p^{\infty}]$.

Referencia: Infinito Abelian Grupos, I. Kaplansky.

Answer 3

Indirecta: $\Bbb Q$ es un grupo ordenado, en particular $0<\frac12<1$. Pero en $\Bbb{Q/Z}$ tenemos que %#% $ #%