Estoy tratando de entender la prueba de cúbicos de reciprocidad de Artin la reciprocidad como se describe en esta conocida previos de matemáticas.SE pregunta y el enlace KCd menciona allí. Sin embargo, hay un último paso que yo no puedo ir a trabajar. Tengo la sospecha de que las pruebas vinculado anteriormente son en realidad incompleta, pero me gustaría confirmar que no estoy perdiendo algo. (Razón: si Artin solo funcionó, creo Cox habría hecho en su libro $x^2+ny^2$, lo que él visiblemente no).
Así que permítanme escribir lo que he averiguado hasta el momento. Deje $K = \mathbb Q(\sqrt{-3})$, y deje $\pi$ siendo una de las principales prime en $K$. (Para mí, el principal medio $\pi \equiv 1 \pmod 3$.) Queremos demostrar
Cúbicos de Reciprocidad: Si $\theta$ es una de las principales prime en $K$ distinta de la de $\pi$ $$\left( \frac{\pi}{\theta} \right)_3 = \left( \frac{\theta}{\pi} \right)_3.$$
Ahora la prueba se desarrolla como sigue.
La idea principal es considerar el diagrama de
Aquí, en la fila superior es el Artin símbolo,
seguido por la `evaluación" del mapa
$$ \text{ev }_\pi : \sigma \mapsto \frac{1}{\sqrt[3]{\pi}} \sigma(\sqrt[3]{\pi}) $$
de modo que la composición de los rendimientos de la cúbico símbolo de Legendre (fila superior).
Luego Artin reciprocidad implica que el Artin mapa es surjective y
factores a través de $I_K(3\pi)/P_K(3\pi)$,
que es isomorfo a $\left( \mathcal O_K/\pi \right)^\times$
por cualquiera primer ideal y el envío a su principal generador
(este es el mapa en la fila inferior).
Por último, el de más a la derecha de la flecha
$\left( \mathcal O_K/\pi \right)^\times \to \{1, \omega, \omega^2\}$
es surjective del resto del diagrama.
Ahora el reclamo no creo es que esto implica a la derecha de la flecha es $\left( \frac{\bullet}{\pi} \right)_3$, lo que implicaría cúbicos de reciprocidad. El argumento es que el núcleo de la derecha de la flecha es un índice de tres subgrupo de $(\mathcal O_K/\pi)^\times$, por lo tanto consta de los cubos en $(\mathcal O_K/\pi)^\times$. Esto significa que $$ \left( \frac{\theta}{\pi} \right) = 1 \implica \left( \frac{\pi}{\theta} \right) = 1. $$ Sin embargo, no parece funcionar para el resto de los valores, por la razón de que de hecho hay dosdiferentes trivial homomorphisms $(\mathcal O_K/\pi)^\times \to \{1, \omega, \omega^2\}$, es decir, $\left( \frac{\bullet}{\pi} \right)_3$ y $\left( \frac{\bullet}{\pi} \right)_3^{-1}$. (Esto es diferente de la cuadrática caso, en que sólo había uno). En otras palabras, a partir de esto podemos concluir que para una fija $\pi$, $$ \left( \frac{\theta}{\pi} \right)_3 = \left( \frac{\pi}{\theta} \right)_3 \quad\text{ o }\quad \left( \frac{\theta}{\pi} \right)_3 = \left( \frac{\pi}{\theta} \right)_3^{-1} \qquad \forall \theta \equiv 1 \pmod 3. $$
Pregunta: ¿cómo demostrar que estamos en el caso anterior, y no el último? Una idea que yo tenía era el de captar un valor muy conveniente de $\theta$ y acaba de comprobar directamente, pero no he sido capaz de encontrar una manera de hacer este trabajo.
