La posición de los Índices en el Convenio de Sumación de Einstein

Question

Habría una diferencia entre los siguientes tensor de cantidades?

$$ {A_\gamma}^\mu {B_\mu}^\rho $$ and $$ {A^\mu}_\gamma {B_\mu}^\rho $$

Ambos de estas expresiones dan el mismo resultado como sigue $$ {X_\gamma}^\rho = {A_\gamma}^\mu {B_\mu}^\rho = {A^\mu}_\gamma {B_\mu}^\rho? $$

Como las posiciones de los índices en el convenio de sumación de Einstein hacer una diferencia, yo creo que las dos expresiones no son equivalentes. La primera ecuación de $ {X_\gamma}^\rho = {A_\gamma}^\mu {B_\mu}^\rho $ tiene sentido para mí como las posiciones de los índices de $\gamma$ $\rho$ son claras en la resultante de la cantidad de ${X_\gamma}^\rho$ pero no estoy seguro de la segunda ecuación. Sería $ {X_\gamma}^\rho = {A^\mu}_\gamma {B_\mu}^\rho $?

Answer 1

Habría una diferencia entre los siguientes tensor de cantidades?

Sí. Su ecuación es falsa. El l.h.s. los contratos el segundo índice, y la r.h.s. uno de los contratos de la primera (incluso si usted está usando la misma letra para el índice). A menos que su tensores tienen algún tipo de simetría, estas expresiones no están de acuerdo.

Answer 2

Vamos a empezar con la métrica $\eta_{\mu\nu}$ tal que $\Delta s^2 = \Delta x^\mu \; \eta_{\mu\nu} \; \Delta x^\nu$. Denotar la inversa de la métrica como $\eta^{\mu\nu}$, de modo que $\eta_{\mu\nu}\eta^{\nu \rho} = \delta_{\mu}^{\,\,\rho}$.

Empezar con tensor con un sólo índice, como $$ A^{\gamma\mu} \qquad \qquad \text{y} \qquad \qquad B^{\mu \rho} $$ a continuación, defina el menor índice de la versión de estos tensores mediante la contratación de la métrica $\eta^{\mu\nu}$: $$ A_{\gamma}^{\;\,\mu} := \eta_{\gamma \alpha}^{\alpha \mu}; \qquad \qquad A_{\,\;\mu}^{\gamma} := \eta_{\mu \alpha}^ { \gamma\alpha} $$ y así sucesivamente.

Usted ve que, por ejemplo, $$ X_{\gamma}^{\;\;\rho} = A_{\gamma}^{\;\;\mu} B^{\;\;\rho}_{\mu} \equiv \eta_{\gamma \alpha} \eta_{\mu\beta}^{\alpha\mu}B^{\beta\rho} $$ mientras que $$ Y_{\gamma}^{\;\rho} = A_{\;\;\gamma}^{\mu} B^{\;\;\rho}_{\mu} \equiv \eta_{\gamma \alpha} \eta_{\mu\beta}^{\mu\alpha}B^{\beta\rho} $$ y se ve que son, en general, dos tipos de tensores, y sólo si $A$ (en este caso) es simétrica son iguales.

Pero tenga en cuenta que llamando a la primera cantidad $X_{\gamma}^{\;\;\rho} $ o$ X_{\;\;\gamma}^{\rho} $ es sólo una cuestión de definición, que sería consistente con el índice de convenciones.