He intentado encontrar y antiderivada pero creo que es imposible así que me gustaría saber si hay otra forma de encontrar su valor.
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Claude Leibovici
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Al igual que tú, supongo que la antiderivada es imposible de encontrar y, más que probable, $$I=\int\dfrac{\tan^2(x) }{1+x^2}dx$$ no mostrará ninguna expresión explícita.
Una cosa que se podría hacer es considerar las expansiones de Taylor de $\tan(x)$ y $\frac 1{1+x^2}$ y obtener $$\dfrac{\tan^2(x) }{1+x^2}=x^2-\frac{x^4}{3}+\frac{32 x^6}{45}-\frac{18 x^8}{35}+\frac{8672 x^{10}}{14175}-\frac{264332 x^{12}}{467775}+O\left(x^{14}\right)$$ e integrar un término a la vez.
Supongamos que hacemos la expansión a $O\left(x^{2n}\right)$ y dejemos que nos llamen $J_{n}$ el resultado de la integral para los límites dados. Calculando los valores, deberíamos encontrar $$\left( \begin{array}{cc} n & J_n \\ 2 & 0.161491 \\ 3 & 0.141568 \\ 4 & 0.160295 \\ 5 & 0.153797 \\ 6 & 0.157698 \\ 7 & 0.155817 \\ 8 & 0.156862 \\ 9 & 0.156303 \\ 10 & 0.156614 \\ 11 & 0.156441 \\ 12 & 0.156538 \\ 13 & 0.156483 \\ 14 & 0.156515 \\ 15 & 0.156497 \end{array} \right)$$ mientras que la integración numérica daría $0.156503$ .
Las calculadoras simbólicas inversas son incapaces de identificar el resultado.
