Suma directa de grupos de abelian

Question

En general, para una familia de $\{G_\alpha\}_{\alpha \in A}$ de abelian grupos, uno que define $$ \bigoplus_{\alpha \in A} G_\alpha \:= \{ a \in \prod_{\alpha \in A} G_\alpha : \sharp \{ \alpha \in A : \pi_\alpha(a) \ne 0 \} < \infty \} < \prod_{\alpha \in A} G_\alpha $$ donde $\pi_\beta : \prod_{\alpha \in A} G_\alpha \to G_\beta$ es la proyección. Uno tiene la inclusión de mapas de $i_\beta : G_\beta \to \bigoplus_{\alpha \in A} G_\alpha$ tal que $\pi_\alpha \circ i_\alpha = \mbox{id}$$\pi_\alpha \circ i_\beta = 0$$\alpha \ne \beta$. Entonces puede demostrarse que $\bigoplus_{\alpha \in A} G_\alpha$ tiene la siguiente característica universal:

(a) Para cualquier grupo abelian $H$ y los familiares de homomorphisms $\phi_\beta : G_\beta \to H$ hay un único homomorphism $\phi : \bigoplus_{\alpha \in A} G_\alpha \to H$ tal que $\phi \circ i_\alpha = \phi_\alpha$.

A partir de la definición de $\bigoplus_{\alpha \in A} G_\alpha$, se deduce que

(b) Cualquier elemento $g \in \bigoplus_{\alpha \in A} G_\alpha$ puede ser escrito como $i_{i_1}(g_{\alpha_1})+...+i_n(g_{\alpha_n})$ donde $\{\alpha_1,...,\alpha_n\} \subset A$ es finito y $g_{\alpha_1} \in G_{\alpha_1}$,...,$g_{\alpha_n} \in G_{\alpha_n}$.

Si definimos a una suma directa de las $G_\alpha$s como un par de $(G,\{j_\alpha\}_{\alpha \in A})$ $G$ $j_\alpha : G_\alpha \to G$ con la propiedad (a), podemos demostrar que (b) es verdadera para $G$ e las $j_\alpha$s, sin el uso de una construcción explícita del grupo $G$, y sin recurrir a la existencia de un isomorfismo entre el $G$ $\bigoplus_{\alpha \in A} G_\alpha$?

Answer 1

Suponga $G$ tiene la propiedad (una). Deje $H$ ser el subgrupo de $G$ generado por $j_{\alpha}(G_{\alpha})$$\alpha\in A$. Yo reclamo que $H=G$.

Desde $G$ es abelian y $H$ es un subgrupo, $H$ es normal. Deje $K=G/H$ y deje $\pi$ ser la canónica homomorphism. Si dejamos $\phi_{\beta}\colon G_{\beta}\to K$ ser el cero mapa para todos los $\beta$, $\pi\circ i_{\alpha}=\phi_{\alpha}$ todos los $\alpha$; pero si $\zeta\colon G\to K$ es el cero mapa, entonces también tenemos $\zeta\circ i_{\alpha}=\phi_{\alpha}$ todos los $\alpha$. Por la singularidad de la cláusula de (a), $\pi=\zeta$, lo que significa que $K$ es la trivial grupo, por lo $G=H$, como se reivindica.

Desde que el subgrupo generado por una familia de la $j_{\alpha}(G_{\alpha})$ de los subgrupos consiste, precisamente, de todos finito de sumas de elementos de la unión de los subgrupos, y cada elemento de la unión puede ser escrito como $j_{k}(g_{k})$ algunos $k\in A$$g_k\in G_{j}$, la propiedad (b) de la siguiente manera.

Por supuesto, la propiedad (a) ya es suficiente para definir la suma directa de hasta un único isomorfismo (respetando los mapas de $j_{\alpha}$). Por la propiedad (a) por $G$, tenemos un único mapa $\phi\colon G\to \oplus G_{\alpha}$ tal que $i_{\alpha}=\phi\circ j_{\alpha}$; y por prperty (a) por $\oplus G_{\alpha}$, tenemos un único mapa $\psi\colon \oplus G_{\alpha}\to G$ tal que $j_{\alpha}=\psi\circ i_{\alpha}$. A continuación, $\phi\circ\psi\colon \oplus G_{\alpha}\to\oplus G_{\alpha}$ satisface $i_{\alpha}=(\phi\circ\psi)\circ i_{\alpha}$, de modo que por la singularidad de la cláusula de $\phi\circ\psi=\mathrm{id}_{\oplus G_{\alpha}}$. Y $\psi\circ\phi\colon G\to G$ satisface $j_{\alpha}=(\phi\circ\psi)\circ j_{\alpha}$, de modo que por la singularidad de la cláusula de $\phi\circ\psi=\mathrm{id}_G$. Por lo tanto, $G\cong \oplus G_{\alpha}$, que es por qué hablamos de la suma directa y no simplemente una suma directa.