Al resolver ecuaciones diferenciales, parece que a menudo tenemos que adivinar la forma de la solución de antemano. ¿Cómo se sabe qué hay que probar? A los autores de los libros de texto les parece natural intentar, por ejemplo, una solución en serie de potencias o alguna otra forma, pero no entiendo muy bien cómo lo saben. También suele existir el método de adivinar una forma de la solución y verificar después que es válida, pero ¿no nos arriesgaremos a comprometer involuntariamente la generalidad? Gracias.
Respuestas
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Mick
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Creo que conocer y estudiar un montón de formas existentes es esencial para poder desarrollar la capacidad de mirar una ecuación y reconocer un patrón que permita transformar la ecuación en una forma conocida (normalmente con la ayuda de una reparametrización, o una transformación de variables).
Por lo general, este enfoque de coincidencia de patrones funciona porque no hay demasiadas formas cuya solución exacta se conozca
user8269
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Como ha dicho lurscher, la forma de saber qué probar es estudiando suficientes ejemplos para hacerse una idea de lo que es probable que funcione la próxima vez.
En algunas situaciones, no se trata realmente de una conjetura, sino de un teorema según el cual si la ecuación tiene tal forma, la solución tiene otra forma. Los libros de texto suelen llamar la atención sobre estos teoremas.
En cuanto a la cuestión de la pérdida de generalidad, también hay teoremas que te dicen cuántas soluciones debes esperar, si es exactamente una, o una familia infinita de un parámetro, o una familia de dos parámetros, etc. En las situaciones en las que se aplica un teorema de este tipo, una vez que has encontrado, por el medio que sea, el número adecuado de soluciones, sabes que no te falta ninguna.
