Usted puede ser que necesite para decir algo más acerca de lo que quieres hacer con esta ecuación, debido a que puede descender a tanta complejidad como te gusta. ¿Usted, por ejemplo, quiere pensar en cadenas de longitud variable, es decir, aquellos en los que la tensión se alarga la cadena y la tensión en sí es una función de la posición a lo largo de la cadena? ¿Quieres pensar acerca de un general, nontangential la fuerza? Usted podría salir de Landau y Lifshitz "Teoría de la Elasticidad" o Stephen Timoshenko "Resistencia de Materiales Volumen 2" o "Teoría de la Elasticidad" y construir algo bastante complicado, pero cada nuevo efecto de modelado se va a producir rendimientos decrecientes.
Suponiendo una tensión constante, $T$ en la cuerda de densidad lineal $\mu$ a lo largo de su longitud $z$, y suponiendo que todavía predominantemente transversal de movimiento $y(z,\,t)$ en un avión, me sale:
$$T\, \cos\theta(z,t)\, \kappa(z,t) = \mu\, \partial_t^2 y\quad\quad\quad(1)$$
donde $\theta$ es la cadena del ángulo con la horizontal y $\kappa$ su curvatura. Sustituyendo $\cos\theta$ $\kappa$ rendimientos:
$$T\,\partial_z^2 y = \mu\,(1+(\partial_z y)^2)^2\, \partial_t^2 y\quad\quad\quad(2)$$
que le dará un buen de no linealidad para masticar.
Siguiente, usted podría considerar la posibilidad de una tensión constante, constante la longitud de la cadena con la vibración pero con movimiento en ambas direcciones transversales. Así que usted va a obtener dos acoplado de ecuaciones diferenciales no lineales. Deje que nuestros dos transversal de desplazamiento de los componentes del ser$x(z,t)$$y(z,t)$, en el local de la tangente a la cadena ser definido por el vector unitario de los componentes de $X = \partial_z x/\sqrt{1 + (\partial_z x)^2+(\partial_z y)^2}$$Y = \partial_z y/\sqrt{1 + (\partial_z x)^2+(\partial_z y)^2}$, de modo que (aquí $s$ es el arclength):
$$T\, \mathrm{d}_s X = T\,\partial_z\left(\frac{\partial_z x}{\sqrt{1+(\partial_z x)^2+(\partial_z y)^2}}\right) \mathrm{d}_s z = \mu\, \partial_t^2 x\quad\quad\quad(3)$$
$$T\, \mathrm{d}_s Y = T\,\partial_z\left(\frac{\partial_z y}{\sqrt{1+(\partial_z x)^2+(\partial_z y)^2}}\right) \mathrm{d}_s z = \mu\, \partial_t^2 y\quad\quad\quad(4)$$
de donde (desde $\mathrm{d}_z s = \sqrt{1+(\partial_z x)^2 + (\partial_z y)^2}$):
$$\left(1+ (\partial_z y)^2\right)\,\partial_z^2 x- \partial_z x\,\partial_z y\,\partial_z^2 y = \frac{\mu}{T}\,\left(1+(\partial_z x)^2+(\partial_z y)^2\right)^2\, \partial_t^2 x\quad\quad\quad(5)$$
$$\left(1+(\partial_z x)^2\right)\,\partial_z^2 y- \partial_z x\,\partial_z y\,\partial_z^2 x = \frac{\mu}{T}\,\left(1+(\partial_z x)^2+(\partial_z y)^2\right)^2\, \partial_t^2 y\quad\quad\quad(6)$$
que reducir a la Eq. (2) cuando hay vibración en un único plano.
Usted conseguirá algunos efectos realmente interesantes a partir de estas ecuaciones acopladas: giros, el acoplamiento de la energía de $x$ $y$y la espalda de nuevo y así sucesivamente.
El siguiente paso sería pensar en el movimiento axial de la cadena y el operador de tensión variable a lo largo de la longitud de la cadena. Esto sería sólo aparente bien en el régimen no lineal y probable (5) y (6) el modelo de la mayoría de los efectos no lineales que se necesitan.
Energías en la Cadena de
Si usted está buscando para encontrar el trabajo realizado por el final de la cadena, entonces usted necesita un modelo de lo que está vinculado y, por tanto, una tensión de desplazamiento de expresión de la probabilidad de una ecuación diferencial, la cual será una ecuación diferencial. Ahora la tensión de $T$ es una función de tiempo, por lo que estamos empezando a poner en serio muy interesante! Usted también puede estar interesado en mirar a una tensión variable con la longitud en este punto, con la tensión de red local definido por $E\,A\,\epsilon(z,t) = k_T\, \epsilon(z,t)$ donde $E$ es la cadena del módulo de Young, $A$ de su área transversal y $\epsilon(z,t)$ la cepa. Tiene más sentido usar $k_T$ y medir experimentalmente: no va a ser fácil de trabajar $k_T$ a partir de primeros principios de la material constantes elásticas para un trenzada o de cadena de cadena! El aguijón de la curvatura engendra la cepa: $\mathrm{d} s = \sqrt{1+(\partial_z x)^2 + (\partial_z y)^2} \mathrm{d} z$, de modo que
$$\epsilon(z, t) =\sqrt{1+(\partial_z x)^2 + (\partial_z y)^2} - 1 \approx \frac{1}{2}\left((\partial_z x)^2 + (\partial_z y)^2\right)\quad\quad\quad(7)$$
Si usted está buscando para la pérdida de la cadena, un buen modelo de aire de la fuerza de arrastre es $−\lambda\,\partial_t x$ , $−\lambda\,\partial_t y$ (es decir, proporcional a la velocidad transversal), que los términos que necesita incluir en la dinámica de la ecuación, entonces el trabajo fuera de la pérdida de la potencia disipada por estos términos. Interno de material de flexión pérdidas son complicados de modelo: a menudo, usted puede hacer este tipo de cosas mediante la sustitución de material de constantes elásticas con pérdida elástica operadores - así que habría que reemplazar el módulo de Young $E$ por ejemplo, algo de la forma $E+E_t \partial_t$, la pérdida constante de $E_t$; equivalentemente, que iba a funcionar con $k_T + k_1 \partial_t$ para la cadena de vigencia del muelle de constante.
Pero, en fin, si usted, como yo ahora entiende a partir de sus preguntas, están buscando simplemente para encontrar la energía necesaria para establecer la vibración (la energía almacenada en la cadena) en un formato sin pérdidas de cadena, entonces usted puede trabajar de la siguiente manera. La energía cinética por unidad de longitud es obvia: es simplemente:
$$K(z,t) = \frac{1}{2}\,\mu\,\left((\partial_t x)^2 + (\partial_t y)^2\right)\quad\quad\quad(8)$$
Ahora, si asumimos que el desplazamiento es pequeño, de tal manera que el primero de la alta tensión de $T$ no cambia tanto como la cuerda vibra, entonces el trabajo realizado por $T$ en agotar una longitud de $\mathrm{d}z$ de la cuerda es $T\,\epsilon\,\mathrm{d}z$, por lo que el potencial de la energía almacenada por unidad de longitud es, de Eq. (7):
$$U(z,t) = T\,\epsilon\ = \left(\sqrt{1+(\partial_z x)^2 + (\partial_z y)^2} - 1\right)\,T\approx\frac{1}{2}\,T\, \left((\partial_z x)^2 + (\partial_z y)^2\right)\quad\quad\quad(9)$$
la aproximación a la celebración de al $|\partial_z x|,\,|\partial_z y|\ll 1$. Estas son las ecuaciones generales. Para encontrar la relación de dispersión para la desacoplado de vibración lineal de ecuaciones $T\,\partial_z^2 y = \mu\, \partial_t^2 y$, $T\,\partial_z^2 x = \mu\, \partial_t^2 x$ estudiamos las soluciones de la forma $\exp(i\,(k\,z\pm\omega\,t))$ donde $k$ es el número de onda y $\omega$ la frecuencia angular; en sustitución de en el lineal de ecuaciones, obtenemos $T\,k^2 = \mu\,\omega^2$ o de:
$$c = \left|\frac{\omega}{k}\right| = \sqrt{\frac{T}{\mu}}\quad\quad\quad(10)$$
así que para una onda, Eq. (8) y Eq. (9) (el último, en la pequeña vibración $|\partial_z x|,\,|\partial_z y|\ll 1$ aproximación) pueden ser combinados para mostrar que $U(z,t) = K(z,t)$, como estado. Asimismo, mediante esta relación, así como teorema de Parseval para la serie de Fourier para cualquier superposición de frecuencias tal que, la forma de onda es periódica, se puede demostrar que el total de la cinética y potencial de las energías integrado a través de una longitud de onda son iguales. Pero esto es para el lineal del régimen de sólo. De manera más general, usted debe utilizar Eq. (5) y Eq. (6) junto con la Eq. (8) y Eq. (9) por separado. Incluso con estas ecuaciones, sería totalmente razonable asumir que una pequeña vibración aproximación con Eq. (9), porque ninguno de los de arriba considera $z$-dirigido componentes de la fuerza, que va a ser significativa con los ángulos que son lo suficientemente grandes como para hacer que la pequeña vibración aproximación de Eq. (9) no válido. Por lo tanto, su set final (aproximando el lado derecho de (5) y (6) de la misma manera como (9))podría ser:
$$\begin{array}{rcl}
\left(1+ (\partial_z y)^2\right)\,\partial_z^2 x- \partial_z x\,\partial_z y\,\partial_z^2 y &=& c^2\,\left(1+2\,(\partial_z x)^2+2\,(\partial_z y)^2\right)\, \partial_t^2 x\\
\left(1+ (\partial_z x)^2\right)\,\partial_z^2 y- \partial_z x\,\partial_z y\,\partial_z^2 x &=& c^2\,\left(1+2\,(\partial_z x)^2+2\,(\partial_z y)^2\right)\, \partial_t^2 y\\
K(z,t) &=& \frac{1}{2}\,\mu\,\left((\partial_t x)^2 + (\partial_t y)^2\right)\\
U(z,t) &=& \frac{1}{2}\,\mu\,c^2\, \left((\partial_z x)^2 + (\partial_z y)^2\right)\end{array}\quad\quad\quad(11)$$
con $c$ definido por la Eq.(10).
