Teorema De Convergencia Dominada De Ejercicio

Question

Se me pide que encuentre a $$\lim_{n \to \infty} \int_0^\infty n^2e^{-nx} \tan^{-1} x \, dx.$$

Aquí está mi intento.

Escribir $$\int_0^\infty n^2e^{-nx}\tan^{-1}x \, dx=\int_0^1 n^2e^{-nx} \tan^{-1} x \,dx + \int_1^\infty n^2e^{-nx}\tan^{-1} x \, dx$$ $$=\int_0^{n^2} e^{-\frac x n} \tan^{-1}\left(\frac x {n^2}\right) \, dx+\int_1^\infty n^2 e^{-nx} \tan^{-1}x \, dx.$$

A continuación, tenga en cuenta que $$\left| 1_{(0,n^2)}(x)e^{-x/n}\tan^{-1} \left(\frac x {n^2}\right) \right| \le \frac \pi 2$$ for all $x>0$ and all $n\ge 1$

y $$|n^2e^{-nx}\tan^{-1}x| \le \frac{\pi}{2}\frac 2 {x^2}$$ for all $x\in [1,\infty)$ and all $n\ge 1$. Thus the dominated convergence gives $${\lim_{n\to\infty} \int_0^\infty 1_{(0,n^2)}(x)e^{-x/n}\tan^{-1} \left(\frac x {n^2}\right) \, dx = 0}$$ and $$\lim_{n\to\infty} \int_1^\infty n^2e^{-nx} \tan^{-1}x\,dx=0,$$ and hence $$\lim_{n \to \infty}\int_0^\infty n^2e^{-nx}\tan^{-1}x\,dx=0.$$

Es esto correcto?

EDIT: por Desgracia, la anterior no es correcta (véase el Dr. MV del comentario). La correcta justificación se muestra a continuación (dado por Sangchul Lee). $$\int_0^\infty n^2e^{-nx} \tan^{-1} xdx=\int_0^\infty ne^{-x} \tan^{-1} (\frac{x}{n}) \, dx.$$ Since $$|ne^{-x}\tan^{-1} (\frac{x}{n})|\le xe^{-x}$$ for all $x>0$ and all $n\ge1$ we deduce that $$\lim_{n \to \infty} \int_0^\infty n^2e^{-nx} \bronceado^{-1} x \, dx=\lim_{n\to\infty}\int_0^\infty ne^{-x} \bronceado^{-1} (\frac{x}{n}) \, dx=\int_0^\infty \lim_{n \to\infty}ne^{-x} \bronceado^{-1} (\frac{x}{n}) \, dx=\int_0^\infty xe^{-x} \, dx=1.$$ The point is that $\tan^{-1}x\le x$ for all $x\ge0$, una desigualdad se me había olvidado!

Answer 1

Pensé que podría ser instructivo para presentar de una forma que evita el uso del Teorema de Convergencia Dominada. Para ello, vamos a proceder.

Integrando por partes la integral de interés con $u=\arctan(x)$ $v=-ne^{-nx}$ rendimientos

$$\begin{align} \int_0^\infty n^2e^{-nx}\arctan(x)\,dx&=\int_0^\infty \frac{ne^{-nx}}{1+x^2}\,dx\\\\ &=\color{blue}{\int_0^\infty ne^{-nx}\,dx}-\color{red}{\int_0^\infty \frac{nx^2e^{-nx}}{1+x^2}\,dx}\\\\ &=\color{blue}{1}+\color{red}{O\left(\frac1n\right)} \end{align}$$

dónde pasar el límite revela el codiciado resultado

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\lim_{n\to \infty}\int_0^\infty n^2e^{-nx}\arctan(x)\,dx=1}$$

Answer 2

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[8px,border:1px groove armada]{{#1}}\,} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$

$\ds{\lim_{n \to \infty}\int_{0}^{\infty}n^{2}\expo{-nx}\arctan\pars{x} \,\dd x:\ ?}$.

$$\bbox[#ffe,10px,border:1px dotted de la marina]{% \mbox{Además de la "motivación original', que se puede evaluar de la siguiente manera:}} $$

---

\begin{align} &\lim_{n \to \infty}\int_{0}^{\infty}n^{2}\expo{-nx}\arctan\pars{x} \,\dd x \\[5mm] = &\ \lim_{n \to \infty}\braces{% n^{2}\int_{0}^{\infty}\expo{-nx}x\,\dd x + n^{2}\int_{0}^{\infty}\expo{-nx}\bracks{\arctan\pars{x} - x}\dd x} \end{align}

---

Por otra parte, $\ds{\arctan\pars{x} - x = -\,{\xi^{2} \over \xi^{2} + 1}\,x\quad}$ algunos $\ds{\quad\xi\ {\large\mid}\ 0 < \xi < x > 0}$ tal forma que: \begin{align} & 0 < \verts{n^{2}\int_{0}^{\infty}\expo{-nx}\bracks{\arctan\pars{x} - x}\dd x} < n^{2}\int_{0}^{\infty}\expo{-nx}x^{3}\,\dd x = {6 \over n^{2}} \,\,\,\stackrel{\mrm{as}\ n\ \to\ \infty}{\to}\,\,\, \color{#f00}{\large 0} \\[5mm] &\mbox{and}\quad \lim_{n \to \infty}\pars{n^{2}\int_{0}^{\infty}\expo{-nx}x\,\dd x} = \color{#f00}{\large 1} \end{align}

---

$$ \implica\bbx{\ds{% \lim_{n \to \infty}\int_{0}^{\infty}n^{2}\expo{-nx}\arctan\pars{x}\,\dd x = 1}} $$