Inclusión-Exclusión para encontrar el número de arreglos de 4 a, 5 B, 6 C 7 D 8 E con exactamente 2 adyacentes C

Question

He encontrado el número de acuerdos en el problema señalado anteriormente por la organización de las cartas que no sean C y luego contar el número de maneras para insertar el C a las lagunas, dando una respuesta de

$\displaystyle\hspace{1.2 in}\frac{24!}{4!5!7!8!}\binom{25}{5}\binom{5}{1}=281625478590456000$,

pero me gustaría saber cómo resolver este problema mediante la Inclusión-Exclusión en su lugar.

Answer 1

Para encontrar el número de acuerdos con exactamente un par de C, se debe utilizar una generalización de la Inclusión-Exclusión Principio. Deje $A_k$ denota el conjunto de los acuerdos con $k$ pares de C adyacente.

Un par de adyacente C

Tenemos $29$ objetos para organizar: $4$, $5$ B, $1$ CC, $4$ C, $7$ D, $8$ E la. Ellos pueden estar dispuestos en $$|A_1| = \frac{29!}{4!5!1!4!7!8!}$$ distinguir formas.

Dos pares adyacentes C

Dos disjuntos a pares de C: Tenemos $28$ objetos para organizar: $4$, $5$ B, $2$ CC, $2$ C, $7$ D, $8$ E la. Ellos pueden estar dispuestos en $$\frac{28!}{4!5!2!2!7!8!}$$ distinguir formas.

Superposición de dos pares de C: Tenemos $28$ objetos para organizar: $4$, $5$ B, $1$ CCC, $3$ C, $7$ D, $8$ E la. Ellos pueden estar dispuestos en $$\frac{28!}{4!5!1!3!7!8!}$$ distinguir formas.

Por lo tanto, $$|A_2| = \frac{28!}{4!5!2!2!7!8!} + \frac{28!}{4!5!1!3!7!8!}$$

Tres pares de C adyacente del

Tres distintos pares adyacentes C: Tenemos $27$ objetos para organizar: $4$, $5$ B, $3$ CC, $7$ D, $8$ E la. Ellos pueden estar dispuestos en $$\frac{27!}{4!5!3!7!8!}$$ distinguir formas.

Un par de C adyacente y superposición de dos pares adyacentes C: Tenemos $27$ objetos para organizar: $4$, $5$ B, $1$ CC, $1$ CCC, $1$ C, $7$ D, $8$ E la. Ellos pueden estar dispuestos en $$\frac{27!}{4!5!1!1!1!7!8!}$$ distinguir formas.

La superposición de tres pares de C adyacente: Tenemos $27$ objetos para organizar: $4$, $5$ B, $1$ CCCC, $2$ C, $7$ D, $8$ E la. Ellos pueden estar dispuestos en $$\frac{27!}{4!5!1!2!7!8!}$$ distinguir formas.

Por lo tanto, $$|A_3| = \frac{27!}{4!5!3!7!8!} + \frac{27!}{4!5!1!1!1!7!8!} + \frac{27!}{4!5!1!2!7!8!}$$

Cuatro pares adyacentes C

Dos conjuntos de superposición de dos pares adyacentes C: Tenemos $26$ objetos para organizar: $4$, $5$ B, $2$ CCC, $7$ D, $8$ E la. Ellos pueden estar dispuestos en $$\frac{26!}{4!5!2!7!8!}$$ distinguir formas.

Un par de C adyacente y la superposición de tres pares de C adyacente: Tenemos $26$ objetos para organizar: $4$, $5$ B, $1$ CC, $1$ CCCC, $7$ D, $8$ E la. Ellos pueden estar dispuestos en $$\frac{26!}{4!5!1!1!7!8!}$$ distinguir formas.

Cuatro pares superpuestos de adyacente C: Tenemos $26$ objetos para organizar: $4$, $5$ B, $1$ CCCCC, $1$ C, $7$ D, $8$ E la. Ellos pueden estar dispuestos en $$\frac{26!}{4!5!1!1!7!8!}$$ distinguir formas.

Por lo tanto, $$|A_4| = \frac{26!}{4!5!2!7!8!} + \frac{26!}{4!5!1!1!7!8!} + \frac{26!}{4!5!1!1!7!8!}$$

Cinco pares adyacentes C

Tenemos $25$ objetos para organizar: $4$, $5$ B, $1$ CCCCCC, $7$ D, $8$ E la. Ellos pueden estar dispuestos en $$|A_5| = \frac{25!}{4!5!1!7!8!}$$ distinguir formas.

Deje $|B_k|$ denotar el número de acuerdos con al menos $k$ pares de C adyacente.

Número de acuerdos con al menos un par de adyacente C $$|B_1| = |A_1| - |A_2| + |A_3| - |A_4| + |A_5|$$

Número de acuerdos con al menos dos pares de C adyacente del $$|B_2| = |A_2| - |A_3| + |A_4| - |A_5|$$

Número de acuerdos con al menos tres pares de C adyacente del $$|B_3| = |A_3| - |A_4| + |A_5|$$

Número de acuerdos con al menos cuatro pares adyacentes C $$|B_4| = |A_4| - |A_5|$$

Número de acuerdos con cinco pares adyacentes C $$|B_5| = |A_5|$$

El número de acuerdos con exactamente un par de C adyacente es \begin{align*} |B_1| & - |B_2| + |B_3| - |B_4| + |B_5|\\ & = (|A_1| - |A_2| + |A_3| - |A_4| + |A_5|) - (|A_2| - |A_3| + |A_4| - |A_5|) + (|A_3| - |A_4| + |A_5|) - (|A_4| - |A_5|) + |A_5|\\ & = |A_1| - 2|A_2| + 3|A_3| - 4|A_4| + 5|A_5|\\ & = 281625478590456000 \end{align*}

Answer 2

4A,5B,1 Par de C, 4C, 7D, 8E

$A1=\frac{29!}{4!*5!*7!*8!*4!.2}$

4A,5B,2 Pares de C, 2C, 7D, 8E

$A2=\frac{28!}{4!*5!*7!*8!*2!*2!.4}$

4A,5B,3 Pares de C, 7D, 8E

$A3=\frac{27!}{4!*5!*7!*8!*3!.8}$

4A,5B,1 Par de C,1 triplete de C, 1C, 7D, 8E

$A4=\frac{27!}{4!*5!*7!*8!*3!*2}$

4A,5B,1 Par de C,1 quadrapulet de C, 7D, 8E

$A5=\frac{26!}{4!*5!*7!*8!*4!.2}$

Utilizando el Principio de Inclusión y Exclusión:

$A = A1-A2+A3-A4+A5=2.81034E+17$