Ideales máximos en el anillo de funciones continuas

Question

Dummit and Foote, 7.4.33(a) : Deje que $R$ ser el anillo de todas las funciones continuas $[0,1] \to \mathbb {R}$ y dejar $M_c$ ser el núcleo de la evaluación en $c \in [0,1]$ es decir, todos los $f$ de tal manera que $f(c) = 0$ . Demuestra que si $M$ es un ideal máximo en $R$ entonces $M = M_c$ para algunos $c$ .

Soy consciente de las pruebas que utilizan la compactación de $[0,1]$ Sin embargo, se me ha dicho que existe una prueba más simple usando sólo los teoremas de isomorfismo para los anillos junto con los hechos básicos sobre los ideales. He tratado por mi cuenta de probarlo de esta manera pero todavía no tengo éxito; ¿es posible?

(Mis intentos van algo así como: desde $M$ es máximo, el anillo de cociente $R/M$ es un campo. Entonces sería bueno usar el hecho de que $R/M$ no tiene divisores cero, pero no puedo hacer que funcione. Alternativamente, considere $M \cap M_c$ .)

Answer 1

Quienquiera que le haya dicho eso se equivocó; no hay manera de probar esto sin usar alguna propiedad especial de $[0,1]$ que está estrechamente relacionado con la compacidad. Para tratar de convencerte de esto, déjame señalar que el resultado es no Es cierto que si reemplazas $[0,1]$ por $(0,1]$ . De hecho, si $R$ es el anillo de funciones continuas $(0,1] \to\mathbb {R}$ que $I \subset R$ ser el conjunto de funciones que son idénticas $0$ en $(0, \epsilon )$ para algunos $ \epsilon >0$ . Luego $I$ es un ideal: si $f,g \in I$ con $f$ desapareciendo en $(0, \epsilon )$ y $g$ desapareciendo en $(0, \epsilon ')$ Entonces $f+g$ se desvanece en $(0, \min ( \epsilon , \epsilon '))$ . Y si $f \in I$ y $g \in R$ Entonces $gf$ desaparece por todas partes que $f$ lo hace, así que $gf \in I$ .

Ya que la función constante $1$ no está en $I$ , $I$ es un ideal adecuado en $R$ así que hay un ideal máximo $M$ que lo contiene. Pero para cualquier $c \in (0,1]$ , $M \neq M_c$ ya que podemos tomar $ \epsilon =c/2$ y encontrar una función continua $f$ que se desvanece en $(0, \epsilon )$ pero de tal manera que $f(c) \neq 0$ y luego $f \in M$ pero $f \not\in M_c$ .