La singularidad de abelianization

Question

El abelianization de un grupo de $G$ es un grupo abelian $A$ y un homomorphism $\varphi: G \to A$ que si $B$ es cualquier grupo abelian, y $\phi: G \to B$ es cualquier homomorphism, no hay una única homomorphism $\psi: A \to B$ (que podría depender de las $\phi$) tal que $\psi \varphi = \phi$.

Pregunta. Si $A$ existe, es único en el sentido de que para cualquier otro $\varphi': G \to A'$ con las propiedades anteriores, hay un isomorfismo $\rho: A' \to A$ tal que $\rho \varphi' = \varphi$?

Answer 1

Sí, es único, precisamente en el sentido que usted le dé.

De hecho, si tenemos $\varphi':G\to A'$ con estas propiedades, por la característica universal de $A'$ que se aplica a $\varphi:G\to A$ debemos tener exactamente un grupo homomorphism $\rho :A'\to A$ tal que $\varphi =\rho \varphi'$. Pero del mismo modo también se puede encontrar una única $\rho':A\to A'$ tal que $\varphi'=\rho'\varphi$. Ahora usted tiene $$\rho\rho'\varphi=\rho\varphi'=\varphi=id_A\varphi,$$ y por lo tanto $\rho\rho'$ $id_A$ son dos factorización de $\varphi$ a través de la misma; por la singularidad de tal factorización, $\rho\rho'=id_A$. El mismo argumento muestra que el $\rho'\rho =id_{A'}$, y por lo tanto $\rho$ es un isomorfismo con inverse $\rho'$.

Tenga en cuenta que la característica universal implica no sólo que hay un isomorfismo tal que $\rho\varphi'=\varphi$, pero que solo hay un isomorfismo.