Cómo demostrar a $\det(e^{\lambda_ix_j})\not=0$ donde $\lambda_i\not=\lambda_j$ $x_i\not=x_j$ si $i\not=j$

Question

En tratar de averiguar el ejercicio:

Vamos $$f(x)=\sum_{k=1}^{n}c_ke^{\lambda_kx}$$where $\lambda_i \=\lambda_j,i\no=j$,and $c_1^2+c_2^2+\dots+c_n^2\no=0$, then the number of $f(x)$'s roots is strictly less than $$n.

Mi enfoque(de esta manera no se puede tratar con $f(x)$ ha repetido root):

suponga $x_1,x_2,\dots,x_n$ $f(x)$'s raíces,y $x_i\not=x_j$ si $i\not=j$. tengo un lineal de ecuaciones acerca de $c_1,c_2,\dots,c_n$: $$e^{\lambda_1x_1}c_1+e^{\lambda_2x_1}c_2+\dots+e^{\lambda_nx_1}c_n=0$$ $$e^{\lambda_1x_2}c_1+e^{\lambda_2x_2}c_2+\dots+e^{\lambda_nx_2}c_n=0$$ $$\dots\dots\dots\dots\dots\dots$$ $$e^{\lambda_1x_n}c_1+e^{\lambda_2x_n}c_2+\dots+e^{\lambda_nx_n}c_n=0$$ Quiero mostrar que la solución a este ecuaciones lineales se $0$,va a ser una contradicción.pero no puedo calcular su determinante de coeficiente: $$\begin{vmatrix} e^{\lambda_1x_1}& e^{\lambda_2x_1} &\dots &e^{\lambda_nx_1}\\ e^{\lambda_1x_2}& e^{\lambda_2x_2} &\dots&e^{\lambda_nx_2} \\ \dots&\dots &\dots&\dots \\ e^{\lambda_1x_n}&e^{\lambda_2x_n} &\dots &e^{\lambda_nx_n} \end{vmatrix}\no=0$$

Answer 1

No sé cómo calcular su determinante, pero yo sé cómo resolver su problema original.

Tenga en cuenta que los ceros de $f$ está de acuerdo con los ceros de $$\etiqueta{1} g(x)=e^{-\lambda_1 x}\,\sum_{k=1}^nc_ke^{\lambda_kx_k}=c_1+\sum_{k=2}^nc_ke^{(\lambda_k-\lambda_1)x}. $$ Ahora procedemos por inducción sobre $n$. Si $n=1$, $g(x)=c_1$ no tiene ceros (recordemos que $c_1\ne0$).

Asumir como inductiva hipótesis de que las funciones de la forma ($1$) tienen en la mayoría de $n$ ceros. Entonces si $$ h(x)=d_1+\sum_{k=2}^{n+1}d_ke^{(\lambda_k-\lambda_1)x}, $$ su derivada es $$ h'(x)=\sum_{k=2}^{n+1}d_k(\lambda_k-\lambda_1)e^{(\lambda_k-\lambda_1)x}. $$ Por lo $h'$ satisface la hipótesis inductiva y, por tanto, en la mayoría de las $n-1$ ceros. Pero, a continuación, $h$ puede tener en la mayoría de $n$ ceros (como entre dos ceros de $h$ no es un cero de $h'$).