Integración de una 3 forma sobre la 3 esfera

Question

Consideremos la forma 1 $\alpha = xdz + ydw -(x^2 + y^2 + z^2 + w^2)dt$ en $\mathbb{R}^5$ .

Estoy tratando de encontrar $\int_S d\alpha \wedge d\alpha$ , donde $S \subset \mathbb{R}^5$ viene dada por $x^2 + y^2 + z^2 + w^2 =1$ y $0\leq t \leq 1$ .

Restringir a $S$ obtenemos $\alpha = xdz + ydw -dt$ Así que $d\alpha = dx\wedge dz + dy \wedge dw$ .

Ahora $d\alpha \wedge d\alpha$ = $d(\alpha \wedge d\alpha)$ así que por el Teorema de Stokes, $\int_S d\alpha \wedge d\alpha = \int_{\partial S} \alpha \wedge d\alpha$ .

Encontré que $\alpha \wedge d\alpha = xdz\wedge dy \wedge dw + ydw\wedge dx \wedge dz - dt \wedge dx \wedge dz - dt \wedge dy \wedge dw$ .

El límite $\partial S$ de $S$ es la unión disjunta $S^3 \times \{0\} \cup S^3 \times \{1\}$ , donde $S^3$ es la esfera unitaria en el $x,y,z,w$ -subespacio de $\mathbb{R}^5 = \{(x, y, z, w, t)\}$ .

¿Cómo puedo integrar esta 3 forma $\alpha \wedge d\alpha$ sobre una esfera límite de $S$ ?

(¡Esto no es una tarea! Nunca he visto explícitamente cómo integrar formas diferenciales sobre un colector, así que un ejemplo trabajado sería realmente útil).

Answer 1

Desde $t$ es constante sobre cada componente de $\partial S$ , $dt|_{\partial S}=0$ . Por lo tanto, basta con integrar $\eta=x \, dz \wedge dy \wedge dw + y \, dw \wedge dx \wedge dz$ los dos últimos términos de $\alpha \wedge d\alpha$ desaparecer en $\partial S$ .

Pero $\eta$ es independiente de $t$ por lo que es idéntico en los dos componentes de la frontera. Dado que cualquiera que sea la orientación elegida en $S$ determinará orientaciones opuestas en los dos componentes del límite, se deduce que $\int_{\partial S} \eta = 0$ .

Así que es bastante aburrido. Vamos a integrar $\eta$ sobre cada componente de la frontera individualmente, sólo para ver qué pasa. Observe que: $$d\eta = dx \wedge dz \wedge dy \wedge dw + dy \wedge dw \wedge dx \wedge dz = -2 dx \wedge dy \wedge dz \wedge dw \, ;$$ es decir, $d\eta$ es un múltiplo constante de la forma de volumen en cada $x,y,z,w$ -subespacio de $\Bbb{R}^5$ . Así, aplicando de nuevo el teorema de Stokes y recordando la fórmula del volumen de una hiperbola, tenemos $$\int_{S^3 \times \{1\}} \eta = \int_{B^4 \times \{1\}} d\eta = -2 \mathrm{Vol}(B^4)= \pm \pi^2$$ dependiendo de su elección original de orientación para $S$ . Puede hacer lo mismo con $S^3 \times \{0\}$ , salvo que tendrás que elegir el signo contrario para ser coherente.