Encontrar todos los valores de $\theta$ para los cuales $\tan(\theta)=\sqrt3$; problema con la comprensión.

Question

Mi libro de texto tiene una sección donde dice que una posible forma en que $\tan(\theta)$ puede pensarse es:

Para ángulos agudos $\theta$, $\tan(\theta)$ es la coordenada $y$ del punto en el lado terminal de $\theta que yace en la línea vertical $x=1$, que es tangente al Círculo Unitario.

También proporciona una ilustración que me gusta especialmente ya que me proporciona intuición sobre dónde se encuentra la función tangente en relación con el seno y el coseno en el Círculo Unitario:

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Teniendo esto en cuenta, se me pide encontrar todos los ángulos posibles que satisfacen la siguiente ecuación: $\tan(\theta)=\sqrt3$.

Sé de memoria que $\tan(\theta)=\sqrt3$ para uno de los ángulos comunes $60^\circ$ o $\frac{\pi}{3}$ radianes. Todas las demás soluciones en el cuadrante I deben ser coterminales con este ángulo, así que simplemente indico: $\theta=\frac{\pi}{3}+2\pi k$ donde $k$ es un entero.

Sin embargo, la respuesta indica que otra solución se encuentra en el tercer cuadrante que está dada por $\theta=\frac{4\pi}{3}+2\pi k$ para enteros $k$. Y como $\tan(\theta)$ es periódico cada $\pi$ radianes, una fórmula simplificada para todas las soluciones se da por: $\theta=\frac{\pi}{3}+\pi k$ para enteros $k.

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Mi confusión surge de este diagrama. Según este diagrama:

1. No es posible que $\theta$ sea un ángulo del cuadrante III, ya que el lado terminal de $\theta nunca intersectará la línea vertical $x=1, como se ilustra en este dibujo rudimentario a continuación:

2. Además, no es posible que $\tan\theta=\sqrt 3$ en el tercer cuadrante donde $\theta=\frac{4\pi}{3}$ ya que el lado terminal del ángulo no podrá intersectar $y=\sqrt 3$.

¿Qué he entendido mal? ¿Cómo es posible retener la intuición de este diagrama y aplicarla a ángulos que son mayores que $\frac{\pi}{2}$ radianes?

Cualquier respuesta debe ser escrita teniendo en cuenta que soy un estudiante de pre-cálculo. Gracias.

Answer 1

Puedes usar la misma intuición cuando $\theta$ se encuentra en otros cuadrantes, trazando la misma línea.

Answer 2

Su libro (Álgebra Universitaria y Trigonometría) en realidad no define $\tan(\theta)$ como usted describe. La parte sobre ángulos agudos y la recta $x=1$ es una explicación de cómo la función tangente obtuvo su nombre, no la definición. La definición del libro (mostrada abajo) no está restringida a ángulos agudos.

Answer 3

Su definición de libro de texto de $\tan$ funciona para $0\leq\theta<{\pi\over2}$, y con cierta imaginación también para $-{\pi\over2}<\theta\leq0$. Ahí es donde la "definición geométrica" de $\tan$ definitivamente termina. Pero dentro de este rango, obviamente tenemos $$\tan\theta={\sin\theta\over\cos\theta}\qquad\left(-{\pi\over2}<\theta<{\pi\over2}\right)\ .$$ Por otro lado, es posible, usando su dibujo, extender $\cos$ y $\sin$ a todo ${\mathbb R}$, preservando así las propiedades conocidas de estas funciones. Por lo tanto, es natural extender también la definición de $\tan$ a un dominio lo más grande posible colocando $$\tan\theta:={\sin\theta\over\cos\theta}$$ siempre que $\cos\theta\ne0$, y dejando $\tan$ indefinido cuando $\cos\theta=0$, es decir, en los múltiplos impares de ${\pi\over2}$. Dado que $$\cos(\theta+\pi)=-\cos\theta,\quad \sin(\theta+\pi)=-\sin\theta\qquad\forall\theta\in{\mathbb R}$$ se sigue inmediatamente que $\tan$ tiene periodo $\pi$ en su dominio de definición. Además, $\tan$ es impar, y es estrictamente monótonamente creciente en el intervalo $\bigl[0,{\pi\over2}\bigr[\ $, porque $\sin$ está aumentando y $\cos$ está disminuyendo allí. Por lo tanto, $\tan$ mapea el intervalo $\bigl[0,{\pi\over2}\bigr[\ $ biyectivamente en ${\mathbb R}_{\geq0}$ (como todos sabemos), y por simetría se deduce que $$\tan:\quad I:=\left]{-{\pi\over2}},{\pi\over2}\right[\ \to\ {\mathbb R}$$ es biyectivo. Como consecuencia, existe exactamente un $\theta\in I$ con $\tan\theta=\sqrt{3}$, es decir, $\theta={\pi\over3}$. La $\pi$-periodicidad de $\tan$ implica entonces que el conjunto de soluciones $S$ de la ecuación $$\tan \theta=\sqrt{3},\quad\theta\in{\mathbb R},$$ está dado por $$S=\left\{{\pi\over3}+k\pi\>\biggm|\>k\in{\mathbb Z}\right\}\ .$$

Answer 4

Si tu libro no te da la definición $\tan\theta$ para $\theta$ no agudo entonces no puedes hacer nada para ángulos no agudos. Sin embargo, según la respuesta de I. J. Kennedy, tu libro define $\tan\theta$ como $\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$. Así que sigamos desde ahí.

Tu regla para visualizar $\tan$ es solo para ángulos agudos, como dice la regla. Por lo tanto, no puedes usar eso para $4\pi\over 3$ que es no agudo. Pero aún así puedes mantener tu intuición y aplicar una regla geométrica similar para otros cuadrantes para resolver tu ejemplo:

Primero, ¿por qué esta regla funciona a partir de la definición de $\tan$?

De triángulos similares $\overset{\Delta}{OAP}$ y $\overset{\Delta}{OBQ}$, obtenemos:

$$ \frac{|OA|}{|OB|}=\frac{|AP|}{|BQ|}\\ \frac{\cos\theta}{1}=\frac{\sin\theta}{|BQ|}\\ |BQ|=\tan\theta $$

Si hacemos esto para el tercer cuadrante;

obtenemos:

$$ |BQ|=\frac{\sin\theta^\prime}{\cos\theta^\prime}=\frac{\sin(\theta-\pi)}{\cos(\theta-\pi)}=\frac{-\sin\theta}{-\cos\theta}=\tan\theta $$

A partir de esto, derivamos:

$$ \color{blue}{\tan\theta}=\frac{\sin\theta^\prime}{\cos\theta^\prime}=\tan\theta^\prime=\color{blue}{\tan(\theta-\pi)}=\tan(\theta-\pi+2\pi)=\color{blue}{\tan(\theta+\pi)} $$

Siguiendo este proceso obtenemos:

$$ \forall k\in\mathbb{Z} \space , \space \tan\theta=\tan(\theta+k\pi) $$

En particular, si $\theta=\frac{\pi}{3}$ entonces $\tan\left(\frac{\pi}{3}+k\pi\right)=\sqrt3$ para todo $k\in\mathbb{Z}$.

Segundo y cuarto cuadrante no necesitan ser verificados ya que el seno y el coseno tienen signos opuestos allí, haciendo que la tangente sea negativa, por lo tanto no es $\sqrt3$.

Answer 5

Primero, asumo que te refieres a $\sqrt{3}$, no a $3$, en todo momento, ya que $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$.

Segundo, nota que tu libro dice "Para ángulos agudos $\theta$, ...". Apuesto a que continúa con una discusión sobre qué significa $\tan\theta$ cuando $\theta$ no es un ángulo agudo. De hecho, $\tan\frac{4\pi}{3} = \tan\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$.